Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 20

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 145 >> Следующая

f(q j qk) Ф g (qY, .... qft)] имеет место только на множестве
q1 qk лебеговой меры нуль, функциями несущественно различными54), то мы
можем сделать тогда вывод, что / = 0.
Относительно С.. Пусть Ог От - т областей в 9, никакие
две из которых не имеют ни одной общей точки, и пусть мера Лебега каждой
из них больше нуля, но конечна. Пусть fi((fo qk)
есть 1 в Oj и нуль повсюду, кроме Ог. Поскольку J j /г |2 равен
2
мере 0[, то /г принадлежит Fq (/=1 га). Эти fv .... fn линейно
независимы. Действительно, ... -|-ял/л = 0 означает
что функция в левой части не исчезает лишь на множестве меры нуль.
Следовательно, она имеет корни в каждой Ог, но поскольку она постоянна и
равна а1 в Ог, то а1 - 0, 1=1 га. Поскольку это
построение проходит для всех га, то должно иметь место С(со).
Относительно D.. Пусть последовательность fx /л удовлетворяет критерию
сходимости Коши, т. е. для каждого е > 0 существует некоторое N - N (е),
такое, что / I fm - fn\2<s ПРИ /га, n>N. Выберем raj = ^vfyj; n2^nv n3^nv
ti2.
53) Вообще
\x -f у I2 = (¦* + у) (x + у) = xx+ уy + (xy + xy) =
= I •* I2 +1 У l2 + 2Re (jCy). P4) Это обычное в теории интеграла Лебега
определение.
31 ОТСТУПЛЕНИЕ: ОБ УСЛОВИЯХ А. - ?, 53
А/ (-gj); ... Тогда • • •> rev + i = ^(+); следовательно,
f |/nv+i - |2 < ("Т") • Рассмотрим теперь множество всех
"+i
2 ' " '
точек, для которых |/nv+1-fnJ > • Если его лебегова мера
(v)
равна р. , то
flf i^<J_ №m<_L
J K"v+1 -Ч1 - ** 24 ./ 44 ' 4" 8" ' ^
< 2V
Рассмотрим также множество Q(v), возникающее при объединении р+ рб+1)1
рб+2)....gro мера лебега
^+)++ + 1> + ++2) + ... <1+1 + 1+..
2" 1 2V+1 ^ 2,+2 • • • - 2v_,
Вне Qw выполняется
|/-, + 1 l^"v+2 ^"v+ll<^'+T;
/л"4-Я /л. + О ^
%+21 ^ 2V+2 ' ' ¦ ' Следовательно, вообще для v < V < v"
( /nv" /"v' I - I /nv' + I /nv' ( "I- | f tiv' + 2 f п-l' +1 I -|- . . .
* • I- [ f tiw" f'H\n - i j 2V' 2V* ^ 2V"_I 2V _1 *
При /->oo эта величина стремится к нулю, независимо от v", т. е.
последовательность , ... удовлетворяет условию сходимости
Коши, если qv .... qk не лежит в Qw. Поскольку (при фиксированных <7j qk)
речь идет о числах, эта последовательность также
будет сходиться. Значит, мы можем утверждать обратное: Если
последовательность /"р , ... не сходится при каких-либо значениях
<7, qk, то они лежат в Qw. Назовем Q множество всех значений q1 qk, для
которых нет сходимости. Тогда Q есть подмножество Qw и его мера не
больше, чем мера Qw, т. е. < + , . Это
справедливо для любых v, так как Q определено независимо от v.
Следовательно, Q имеет меру Лебега 0. Поэтому ничего не случится, если,
например, положить все /" в Q равными нулю (ср. прим. 54) на стр. 52). Но
тогда /" , .., будет сходиться и в Q, т. е. везде.
54 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Таким образом, мы описали подпоследовательность /" , /"2, ...
последовательности fx, /2 сходящуюся в каждой точке qx qk
(нет необходимости, чтобы это было верно для всей fv /2, ...). Пусть
предел /" , /"2, ... есть f-f(qx qk). Мы должны, стало
быть, показать, что: 1. / принадлежит Fa, т. е. J|/|2 конечен.
г
2. / есть предел /" , /"2, ... не только в смысле сходимости при каждом
qx qk, но также и в смысле "сходимости по длине"
в пространстве Гильберта, т. е. |/ - /"J->0 или / |/-УЧ|2->°-
s
3. В последнем смысле / - это даже предел всей последовательности fv Л т-
е- II/-/яП -^ °* или / I / - /я I2 -
S
Выберем s>0 и v0 такое, что пч> N {в) ^например,
и vi^v0, я>АА(г). Тогда J | /"^-/" |2 < е. Если мы устремим
г
теперь V->оо, то подинтегральное выражение будет стремиться к |/ - /л |2>
следовательно (в соответствии с теоремой сходимости
интеграла Лебега, ср. прим. 52) на стр. 51), /1/ -/"|2^е. Соот-
&
ветственно, во-первых, интеграл J | / - /я|2 будет конечен, т. е.
г
/ - /" будет принадлежать /V, а так как /" принадлежит Fs, то и / будет
принадлежать Fs также; таким образом 1. доказано.
Во-вторых, из полученного неравенства следует, что
S
при я->оо и, значит, 2. и 3. доказаны тоже.
Относительно Е.. Мы должны посмотреть последовательность
функций fx, /2 всюду вплотную В Fq.
Пусть 2lt й2, ... - последовательность областей в Q, покрывающих всю Q,
каждая из которых имеет конечную меру. (Пусть, например, Qn есть шар
радиуса N с центром в начале координат.)
Пусть f = f(qx qk)-некоторый элемент Fa. Определим fN =
= fN{qx qk) для каждого N - \, 2, ...:
f N (Q Як) -
{если qx, ..., qk лежит в 2^
и |/(ft qk)\^N-,
0 во всех других случаях.
3]
ОТСТУПЛЕНИЕ: ОБ УСЛОВИЯХ А. - Е.
55
При JV-> оо, f n (,Q\..Чк)~* f (Ч\' ¦ ¦ ¦' 4k) (начиная с некоторого N
достигается даже равенство), следовательно, |/ - |2 -> 0. Далее,
/ - /дг равняется 0 или /, и поэтому |/ - /дг |2ё= | /12- Следовательно,
интегралы J |/ - fN |2 мажорируются (конечным!) интегра-
й
лом /1/Р не зависящим от п. Поскольку подынтегральные выраже-s
ния стремятся к нулю, то же верно относительно интегралов (ср.
цитированную выше теорему сходимости): J|у7-|2 -> 0, ||/-/дг||->0.
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed