Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
60) Вспомним, что двойная последовательность gnm (п, т= 1, 2, ...) может
быть записана и как простая последовательность gu, g12, g2i. ?13, ?22,
gah
4 И. Нейман
50 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
ство 3ft есть 9t" или 9^ (судя по тому, имеет ли место С(я>. или С(оо).),
т. е. полностью определить его свойства.
Нам осталось только показать, что 9t допускает одно-однознач-ное
отображение на множество всех {ACj, ..., хп} или всех {aCj, х2, •••}
2KI2 конечна ).
"=1 J
1. Из /"->{*!, х2
2. Из j/"->{*!, х2,
3. Из | /-"-4*1- *2-
W*{yi. У2.
следует af*-+{axv ах2, ...}. следует f g*-+{xl-\- yv х2 + у2, • •}•
п ИЛИ со
следует (/, g)= 2
(в бесконечном случае в 3. надо еще показать наличие абсолютной
сходимости). Правило этого сопоставления /-*->{.х1, х2, ...} мы сейчас
приведем.
Пусть cpj, <р2> •••-полная ортонормированная система; в случае С(я\ она
обрывается на ср", в случае С(оо\ она бесконечна (теоремы 3(л). и
Положим
п ИЛИ СО
/ = 2 хж-"=1
В силу теоремы 5. этот ряд сходится и в бесконечном случае ^поскольку
2KI2 конечна^, т. е. пространства 91 " или соответственно 9t00 им
полностью исчерпываются. Но в силу теоремы 7. J5)
п ИЛИ СО
и поскольку 2 I (/• Vv)!2 конечна (теорема 4.), элементы 9t
V =1
также будут исчерпаны [следует подставить jcv = (/,. <pv)]. Очевидно, что
только один / соответствует каждому {Xj, х2, ...}, в то время как
обратное следует из следствия теоремы 5. .
Утверждения /. и 2. выполнены очевидным образом, а 3. следует из теоремы
7. у)-
3. Отступление: Об условиях А.-Е.51)
Мы еще должны доказать утверждение 2. из I. 4: что Fz, Fe действительно
выполняют условия А.-Е.. При этом достаточно рассмотреть F2, так как мы
уже показали в II. 2, что 9t с А.-Е. по всем своим свойствам идентично с
9t00, т. е. с Fz, так что А.-Е. должны выполняться и для Fz. Кроме того,
мы докажем
6|) Этот раздел не является необходимым для понимания дальнейших частей
текста.
3]
ОТСТУПЛЕНИЕ: ОБ УСЛОВИЯХ А, - Е.
51
упомянутую в II. 2 независимость условий D. , Е. от А. - С(со). и тот
факт, что они следуют из А. - С(п)., т. е. что они имеют место в Шп. Эти
три чисто математических вопроса составляют содержание этого раздела.
Начнем с доказательства выполнения свойств А.-Е. в Fs. Для этого нам
придется опереться на лебегово понятие интеграла, относительно
обоснования которого мы лишь сошлемся на специальную литературу по этому
вопросу52). (Интеграл Лебега важен нам только в данном случае, и
знакомство с ним не является необходимым для чтения следующих глав.)
В I. 4 мы ввели Q как ^-мерное пространство элементов qv qk и Fq как
множество всех функций f(qv ..., qk) с конечным
|/(<7i Як)?аЯ\ аЯк' ПРИ этом все Я\ Яь могут
я
меняться от - со до -)-оо. Впрочем, все наши рассуждения останутся
справедливыми, и даже вывод будет по большей части дословно
тот же, и если бы мы ограничили интервалы изменения ql qk
(так чтобы Q было, например, полупространством, внутренностью куба,
внутренностью сферы или внешностью этих фигур и т. д.), и даже если бы мы
выбрали в качестве Q искривленную поверхность (как, например, поверхность
сферы и т. п.). Но для того, чтобы не потеряться в ненужных усложнениях
(их сможет без затруднений рассмотреть читатель по образцу нашего
типичного доказательства), мы ограничимся указанным простейшим случаем.
Итак, пройдем последовательно А. - Е. одно за другим.
Относительно А.. Мы должны показать, что если fug принадлежат F, то а/,
fig также принадлежат ему. Иными словами, если конечны
f I/I2- f \g\2
s в
|мы ввели сокращенное обозначение для l/(?i.....М2х
2
X dql . .. dqk и , Як)\2dqx ... dqk, поскольку это
я
не может привести к путаницеj, то Ji"/i2=m2Ji/i2. JV±gf
s 2 е
52) Например, Carath6odory, Vorlesungen iiber reelle Funktionen,
Leipzig, 1927, в особенности стр. 237-274; Кашке, Das Lebesguesche
Integral, Leipzig, 1925.
[Из русских руководств по интегралу Лебега можно рекомендовать читателю,
например, книгу Натансона, Теория функций вещественной переменной,
Гостехиздат, 1950 г., или соответствующую главу в V томе Курса высшей
математики В. И. Смирнова, Гостехиздат, 1947 г. {Прим. ред.)]
4*
52
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
также конечны. Первое утверждение тривиально. Вследствие того, что |/ ±
^|2= |/|2+ |^|2 i 2Re(/^)53), справедливость второго будет установлена,
как только будет показано, что интеграл
/\f'g\=S |/| • |g-| конечен. Однако, поскольку |/| • |д| ^ 2 2
= \ (|/|2_Ь |й12)' т0 последнее следует непосредственно из исходной
гипотезы.
Относительно В.. Мы определим (/, g) как J fg. Этот инте-
2
грал, как мы только что убедились, сходится абсолютно. Все свойства,
постулированные в В., очевидны, кроме последнего: что (/, /)= 0 влечет за
собой / = 0. Теперь (/, /) = 0 означает, что
J |/|2=:0. Следовательно, множество точек, на котором |/|2>0, 2
т. е. / (qY, ..., Як)Ф 0, должно иметь лебегову меру нуль. Если мы теперь
будем считать две функции / и g, для которых / Ф g [т. е.
