Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
следовательно, ov <р2, ... полна.
Итак, мы имеем такую логическую схему:
полнота -> р) -> я) -> полнота.
Тем самым показано, что ") или fi) действительно необходимые и
достаточные условия полноты.
Из у) следует, что если / ортогонален ко всем <fv <р2, ... и если мы
положим f = g, то получим (/, /) = 20'0 = 0, f - 0,
V
тем самым сpv <р2, ... полна. С другой стороны, из fi) (которое ведь
теперь эквивалентно полноте) следует
/ N N \
(/, g) = lira ( 2 (/- Tv)' Tv' Tv) • Tv) =
N-^co \ 1 v = 1 /
N ______
= Iim 2 (/' Tf)(g- Tv)(V ^) =
N-^'OO a, v = 1
N со
= Iim 2(/' Tv)(S• Tv)=2(/' Tv)(g- Tv)
N-^oo v= 1 v =1
48
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
(если система <рх, ср2. ... конечна, то в предельном процессе нет
необходимости), т. е. у). Итак, у) тоже является необходимым и
достаточным условием.
Теорема 8. Каждой последовательности fv /2, ... соответствует некая
ортонормированная система срх, ср2, ..., на которую натягивается то же
самое линейное многообразие, что и на исходную последовательность (обе
последовательности могут быть конечны).
Доказательство. Сначала заменим /х, /2, ... подпоследовательностью gv g2
которая растягивает то же линейное многообразие и состоит из линейно-
независимых элементов. Это можно сделать так: Пусть gj - первый из
элементов /л, отличный от нуля; g2-первый из /л, отличный от всех ?jgy,
g3- первый из /л, отличный от всех alg1-\- a2g2\ ... (Если для какого-
либо р не существует ни одного /л, отличного от всех а^х-|- ... -j-
a.pgp. мы обрываем систему на gp.) Такие gv g2 .... обеспечат, очевидно,
желаемый результат.
Образуем теперь
Ti = gy
Т2 = S2 -<^2- ?l) • ?1- ?2 = • Т2-
Тз -ёз- (ёз- Ti) • Ti - (gy Тг) • Т2. Тз = • Тз-
(Это-известный "процесс ортогонализации" Е. Schmldt'a.) Построение
каждого из срр действительно возможно, т. е. все знаменатели ||Тр||
отличны от нуля, ибо, иначе, будь ||Тр|| = 0, gp было бы линейной
комбинацией срх, ..., ср _х. т. е. линейной комбинацией
g'j gp-i> чт0 противоречит допущенному. Далее ясно, что
gp - линейная комбинация срх, ср2 а срр - линейная комбинация
g'j, .... gp, следовательно g'j, g2, ... и срх, ср2, ... определяют одно
и то же линейное многообразие.
Наконец, по построению ||<рр||=1 и для q < р (ур, ср9) = 0, следовательно
и (<рр, ср?) = 0. Поскольку мы можем поменять р и q местами, то последнее
справедливо всегда для р ф q. Следовательно, cpj, ср2, ... есть
ортонормированная система.
Теорема 9. Для всякого замкнутого линейного многообразия Si найдется
ортонормированная система, как раз растягивающая Si, как замкнутое
линейное многообразие.
Доказательство. В случае эта теорема самоочевидна, ибо ёсли 91
удовлетворяет А,, В, и С(п\ , каждое линейное многообра-
2]
ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
49
зие 2W в 3t удовлетворяет А., В. и С(т>. с некоторым т-^п, так что к 2К
применимо замечание к теореме 3(/!).: существует орто-нормальная система
<рх, .... <рт, полная в 9К, что, вследствие теоремы 7. а), и есть в
точности утверждение, которое надо доказать. (Как можно видеть,
предпосылка о замкнутом характере 2К сама по себе не необходима,
поскольку она фактически доказывается. Ср. со сказанным перед
определением 5.)
В случае С(оо>. напомним, что, согласно Е., JJt сепарабельно. Мы хотим
показать, что то же будет для 2К- что вообще любое подмножество 3t
сепарабельно. С этой целью образуем последовательность /], /2, ...,
всюду плотную в 3t (ср. Е. в II. 1), и для каждого fn и т- 1, 2,
... построим шар $пт, содержащий все /
с ||/ - /л||<-^- Для каждого $лт, содержащего точки из Ш,
выберем одну такую точку gnm. Итак, для некоторых пит такие точки gnm
могут быть не определены, но определенные точки gnm образуют
последовательность в 2К50). Пусть /- любая точка из 3W
и е > 0. Тогда существует некоторое т такое, что ~ < у > и некоторый fn
такой, что ||/л- /|| Поскольку $пт теперь содержит точку из
(именно /), то gnm определена и ||/л-gnm\\ < -,
2
значит, ||/ - g"m || < - < е. Следовательно, / есть предельная точка
определенных выше gnm и, значит, эта последовательность приводит нас к
желанному результату.
Обозначим через fv /2, ... последовательность из 2К, всюду плотную в 2К.
Замкнутое линейное многообразие, определяемое ею [/1> fv •¦•]> содержит
все свои предельные точки и, следовательно, все 2К; однако поскольку 2К
есть замкнутое линейное многообразие, а /], /2, ... принадлежат ему, то,
следовательно, [fv /2, ...] есть часть его, следовательно, оно равно 9Jf.
Выберем теперь по теореме 8. ортонормированную систему <pj, <р2 Тогда
{срх, ср2, ...} =
= [fv fv ¦••}> и если мы присоединим к обеим сторонам предельные точки,
то получим [<pj, <р2, ...] = [/j, /2, ...] = 2К. В этом и состояло наше
утверждение.
Надо теперь только положить в теореме 9. 2K = 9i, и мы получим по теореме
7. ") полную ортонормированную систему
<р!> <р2 Итак: существуют полные ортонормировалные системы. На
основании такой системы мы можем теперь показать, что простран-
