Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 17

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 145 >> Следующая

с различными fт для различных /. Следовательно, О или конечна, или
является последовательностью.
Как и при доказательстве теоремы 3(п)., показывается, что если в 9( есть
> т линейно-независимых элементов, то система <рг, ..., срт не может быть
полной. Однако поскольку в силу С(ос). при любом т в 9? имеется больше т
линейно-независимых векторов, то полная система должна быть бесконечной.
Следующие теоремы в той мере, в какой они говорят о сходимости, относятся
только к С(оо)., однако желательно их сформулировать в общей форме, имея
в виду другие утверждения, которые в них содержатся.
4В) Пусть система <рь - • * полна. Тогда система у2, 9з> • ¦ • не полна,
хотя она и бесконечна!
2] ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 45
Теорема 4. Пусть срх, ср2, ... -ортонормированная система. Тогда все ряды
2 (/• 9v)> если только они вообще имеют
бесконечно много членов, абсолютно сходятся. В частности, для f = g
всегда 2 |(/. 9*)|2 ^ II/II2-
V
Доказательство. Пусть = (/, cpv), v=l, 2, .. . Тогда
N
f-2а*9\> = Ф ортогональна ко всем cpv, v-1, 2 N (ср. до-
v= 1
N
казательство теоремы 3<л)). Поскольку /=2 а*9\> + Ф> то
V- 1
N N _ N
(/. /)= 2 (р")+2 т,)+2в,(т,- ф)+(ф> ф) =
V, 1 1 V- 1
= 2К12+(ф> 21 aj2.
v= 1 v=1
N
т. e. 2 Iavl2 = ll/ll2- Если система cpx, <p2, ... конечна, то прямо
V - 1
следует, что
если же она бесконечна, то при /V->оо мы убеждаемся в абсолютной
сходимости 2 KI2 и в том> что 2 |av|2 = ll/|l2, Тем самым второе
V V
утверждение доказано.
Вследствие того, что |(/, <pv)(?\ <pv)|^-Г{|(/, <р,)|2 + |(g, cpv)|2},
более общее утверждение о сходимости - первое предложение теоремы-
следует из уже установленного факта сходимости.
Теорема 5. Пусть срх, ср2, ...-бесконечная ортонормиро-
оо
ванная система. Тогда ряд ^ xvcpv сходится тогда и только
V- 1
о(c)
тогда, когда сходится ряд 2 I I2 (члены последнего ряда суть
V=I
вещественные неотрицательные числа и, следовательно, ряд или сходится,
или собственно расходится к -f-oo). Доказательство. Поскольку высказанное
предложение нетривиально лишь для С(со)., то мы можем пользоваться D. -
критерием
ОО
сходимости Коши. Согласно ему сумма 2 x4fi сходится, иными ело-
V = 1
46
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. II
N
вами, последовательность частных сумм 2 -^vTv сходится при N ->°о
V - 1
тогда, когда для любого е>0 существует некоторое N-N(e)
l м
такое, что для L, M^N будет 2 xvcpv - 2 ¦*,
V=1 V=1
положим, что L^> M^N, тогда
< е. Мы пред-
L М 2 2 L 2 < e
V=1 V-1 v= ЛЦ-1
/ L L \
( 2 2 *V<F v ) =
V=M+l L / L
2
V=Ai + 1
__ м = 2 •Vv(v'Pv)= 2 I *,12=2 l*v!2- 21
p., v=Al + l v = Al-f 1 v=l >=1
Следовательно,
L M
I x" |2- 2 |.xv|2<e2.
Однако это есть в точности условие сходимости Коши для последо-
/V оо
вательности
2 К!2, n ->оо, т. е. для ряда 2
v=l
Следствие. При /=2-*:v'Pv' (/> ?v)= хч (независимо от
V
того, является ли ортонормирования система конечной или бесконечной,
однако в последнем случае, конечно, предполагается сходимость).
Доказательство. При TVsgv имеем
N
2 хд
Р=1
N
= 2 -Mv ?*) = **•
|1=1
В случае конечной системы ср:, ср2, .... мы можем положить N равным
наибольшему индексу. Для бесконечной системы срр ср2, ... можно считать
N-> оо, вследствие непрерывности внутреннего произведения. В обоих
случаях мы получаем (/, ср11)==х(1.
Теорема 6. Пусть <р1( ср2, ... ортонормированная система, а /
произвольно. Тогда /' = 2 •*, = (/• 'Pv)(v=1> 2> •••)
v
всегда сходится, если ряд бесконечен. Выражение /-f ортогонально к <pj,
ср2, ...
Доказательство. Сходимость следует из теорем 4. , 5. ; согласно следствию
теоремы 5. имеем (/', срч)==д= <pv),
(/-/'. <р,) = о.
2] ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 47
После этой подготовки мы можем дать общий, т. е. пригодный даже для
С(оо). критерий полноты ортонормированной системы.
Теорема 7. Пусть <рх, <р2, ...-ортонормированная система. Тогда для
полноты системы необходимо и достаточно каждое из следующих условий:
") Растягиваемое срх, <р2, ... замкнутое линейное многообразие [<pj, <р2,
. . .] равно SR.
Р) Всегда / = 2-*\ТЧ' где x-* = (f' Tv) С*> = 1. 2, .... сумма
V
сходится по теореме 6.).
Y) Всегда (/; g) = 2(/' TvHg' Tv) (сумма сходится абсо-
V
лютно по теореме 4.).
Доказательство. Если <pj, <р2, ... полна, то / - 2 равно
нулю = cpv), v=l, 2, ...), поскольку / ортогонально к <Pj, <р2, . . . в
силу теоремы 6. и тогда fi) удовлетворено. Если fi) выпол-
N
няется, то каждый / есть предел своих частных сумм 2-*^' Af->oo
V=1
(если cpj, <р2, . .. в самом деле бесконечна) и, следовательно,
принадлежит к [<рх, <р2, ...]. Отсюда [cpj, <р2, ...]=№, т. е. ")
удовлетворено. Если ") выполняется, мы можем рассуждать следующим
образом: Если / ортогонален ко всем <рх, <р2 то он также ортогонален ко
всем их линейным комбинациям, и, в силу непрерывности, также ко всем
предельным точкам оных, т. е. ко всему [срх, <р2, ...]. Следовательно, он
ортогонален ко всему 9i, а значит, и к себе самому: (/, /) = 0, / = 0. И,
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed