Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
2U ортогонален каждому элементу из Щ. Множество О называется
ортонормированной
системой, если для всех /, g из О
(f ч_| 1 ДЛЯ f = g'
У ' g \ 0 для / Ф g
(т. е. каждые два различных элемента ортогональны и каждый элемент по
длине равен единице46)). В частности, О будет называться полной, если она
не может быть подмножеством какой-либо другой ортонормированной системы,
содержащей дополнительные элементы47).
Заметим еще, что утверждение о полноте ортогональной системы О означает,
очевидно, что не существует / с ||/|| =1, который был бы ортогонален ко
всей О (ср. прим. 46)). Но будь / просто отличен от
нуля и ортогонален ко всей системе О, то /' = • / (ведь ||/|| > 0)
удовлетворяет всем требованиям: \\f'\\ = цу-у ||/|| = 1 и /' ортогонален
к О. Следовательно, полнота О требует, чтобы любой /, ортогональный ко
всей системе О, исчезал.
Второе определение таково, что оно существенно только для 9tco, поскольку
в 9t" каждое линейное многообразие-такого типа, как то, которое им
описывается (ср. конец II. 3). Поэтому мы не можем дать интуитивно-
геометрическую картину его смысла.
46) Действительно, ||/|| =^(/, /) = 1.
47) Как видно, полные ортогональные системы соответствуют декартовым
системам координат (т. е. совокупностям единичных векторов, направленных
вдоль их осей) в 9t".
21
ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
43
Определение 5. Линейное многообразие, которое одновременно замкнуто,
назовем замкнутым линейным многообразием. Если $ есть некоторое множество
из 91 и мы дополним {91} (линейное многообразие, натянутое на И) всеми
его предельными точками, мы получим замкнутое линейное многообразие,
содержащее 91. При этом оно будет подмножеством каждого другого
замкнутого линейного многообразия, тоже содержащего 9148). Мы назовем его
замкнутым линейным многообразием, натянутым на 91, и обозначим [91].
Перейдем теперь к более детальному анализу 91 и, в частности, к полным
ортогональным системам. К тем теоремам, для которых в дополнение к А., В.
потребуются С(п>. или С(оо)., D. и ?., мы будем добавлять соответственно
индекс (/г> или (оо). Теоремы общие для обоих случаев оставим по-прежнему
без индексов.
Теорема 3(п)- Каждая ортонормированная система имеет < п элементов и
будет полной тогда и только тогда, когда она имеет п элементов.
Замечание. Из первого утверждения следует, что существует максимальное
значение для числа элементов ортогональных систем; те ортогональные
системы, для которых достигается это максимальное значение, оказываются,
по определению, полными. Итак, в случае С(я\ существуют полные
ортогональные системы и каждая такая система имеет п элементов.
Доказательство. Каждая ортогональная система (если она конечна) линейно-
независима. Если ее элементы суть ср^ <р2, ..., срт, то из
^1+ ••• +""?" = О
следует, что 0^ = 0 (р,= 1, 2, ..., т); в этом можно убедиться, образуя
внутреннее произведение с ср^. Следовательно, в силу С(я). система не
может иметь л -1 элемент. Произвольная ортогональная система, таким
образом, не может иметь подсистем с я+1 элементами. Следовательно, она
конечна и содержит п элементов.
Система из п элементов не допускает расширения и, следовательно, полна.
Однако система с т < п элементами cpt cpm не
полна. Действительно, среди линейных комбинаций ... -f- ят<рт
не может быть п > т линейно-независимых. Следовательно, в силу С(я).
должен существовать элемент /, отличный от всех ... + em5Pm>
т. е. такой, для которого
Ф = /" аЯ\- ••• - апДт
48) Как линейное многообразие, оно должно содержать {21} и, поскольку
оно замкнуто, то н предельные точки {21}.
44 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
всегда отличен от нуля. Далее, (ф, ср(1) = 0 означает, что - ср^) ([л=1,
2, ..., т). Следовательно, если это условие может одновременно
выполняться для всех р = 1, 2, ..., т, то оно определяет таким образом ф,
который показывает, что система cpj, ..., cpm не полна.
Теорема 3(ос). Каждая ортонормированная система конечна или есть счетно-
бесконечная последовательность; если она полна, то она заведомо
бесконечна.
Замечание. Значит, мы можем записывать все ортогональные системы в виде
(возможно обрывающихся, т. е. конечных) последовательностей <plt ср2,
..., что мы действительно и сделаем. Подчеркнем, что теперь число
элементов системы только необходимо для ее полноты, но в отличие от
случая Сэтого условия еще недостаточно49).
Доказательство. Пусть О - ортонормированная система, / и g - два
различных ее элемента. Тогда
(/ - ?•- f - g) = (.f. /) + (§•- ?•) - (/> g)~(g' /) = 2-II/-*11 = /2.
Пусть теперь fv /2, ...-существующая согласно Е. последовательность,
всюду плотная в 9?. Для каждого / из О существует
некоторое f т из последовательности, для которого ||/ - f т || < |/2.
fm и /п> соответствующие fug, должны быть различны, поскольку из fm = fn
следовало бы, что
II/ - *11 = IK/ - fm) - (? - *JII=^
^Wf-fA + \\g-gm\\ <уУ2+1у2 = У2.
Значит, каждому / из О соответствует fm из последовательности fx, /2, ...
