Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
Функция F (J) в SR (т. е. функция, определенная для / из SR и имеющая в
качестве своих значений или всегда точки из 3t, или всегда комплексные
числа) непрерывна в точке /0 (из SR), если для каждого е > 0 существует 8
> 0 такое, что из [[/ - /0[| < 8 с необходимостью следует, что \\F (J)-
/,(/о)Н<Ё или IF (/)-^(/о)1<(r) (в зависимости от того, являются ли
значения F точками из или комплексными числами). Будем называть эту
функцию ограниченной в или в заданном подмножестве SR, если там всегда
\\F{f)\\-^C или |/7(/)|;gC (С - постоянная, соответствующим образом
выбранная, но фиксированная). Аналогичные определения имеют место для
нескольких переменных. Последовательность fv /2, . .. сходится к / или
имеет предел /, если числа [[/]-/[[, |[/2 - /[|, ... сходятся к нулю.
Точка называется предельной точкой множества ЭД (которое есть
подмножество 3t!), если она является пределом последовательности из
ЭД44). В частности, будем называть % замкнутым, если оно содержит все
свои предельные точки, и оно называется всюду плотным, если его
предельные точки включают все 3t.
Мы должны еще доказать, что af, f-\-g, (/, g) непрерывны по всем своим
переменным. Поскольку
\\af-af'\\ = \a\. \\/-/'\\,
ll(/+s)-(/' + s')ll = \\(f-f')+(g-g')\\^\\f-f'\\ + \\g~g'b
то первые два утверждения очевидны. Далее, из
II/ -Л1<Ё- IIS' - S'!l<s
при подстановке f - / = ?. g' - S = 1J следует, что
К/. g)-(J'< s')I = К/. s)-(/+?. s + ЮI = = 1 (?. s)+(/. Ф)+(ч>. Ф)1=ё ^
|(?. s)l + К/- WI +1(?. Ф)| ^
== IMI -llslH-11/11-Ж1 +II "pIMhMIss ^e(ll/ll + llsll + e)-
При е->0 это выражение стремится к нулю и может быть сделано меньше
любого 8 > 0.
44) Используют также следующее определение предельной точки: для любого
е>0 найдется такое /' из 91, что ]| / - /' ]| < е. Эквивалентность
обоих определений можно показать дословно так же, как это делается в
обычном анализе.
1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ АБСТРАКТНОГО ПРОСТРАНСТВА ГИЛЬБЕРТА 41
Свойства А. и В. позволяют нам, как мы видели, сказать об SR довольно
много, однако они все же недостаточны, чтобы отличить SR" друг от друга
или от SRoo - ведь о числе измерений пространства до сих пор не было
сказано ни слова. Это понятие известным образом связано с максимальным
числом линейно независимых векторов. Если такое максимальное число п= 1,
2, ... существует, то для этого п мы можем утверждать, что
С(п). Существует точно п линейно-независимых векторов.
Это значит, что можно указать п таких векторов, но /г-}-1 не существует.
Если же не имеется максимального числа, то тогда мы утверждаем, что
С(оо). Существует произвольно много линейно-независимых векторов.
Это значит, что для каждого А = 1, 2, ... можно указать k таких векторов.
Итак, С. не является собственно новым постулатом. Если имеют место А.,
В., то либо одно из С(п)., либо С!°°\ также обязательно имеют место. Судя
по тому, какое из них мы выберем, мы получим различные пространства SR.
Мы увидим, что из С(п). следует, что SR обладает всеми свойствами /г-
мерного (комплексного) евклидова пространства. Напротив, постулата С<оо).
не хватит, чтобы обеспечить тождество SR с гильбертовым пространством
SRoo, нам потребуются для этого еще два постулата D. и Е.. Точнее, дело
обстоит следующим образом: мы покажем, что SR с А., В. и С(п). обладает
всеми свойствами SR" и, в частности, свойствами D. и Е., которые будут
сейчас сформулированы (и которые, таким образом, следуют из А., В. и
С(п).). Далее мы покажем, что (R с А., В., С(оо>., D., Е. обладает всеми
свойствами SRoo, однако в этом случае постулаты D. и Е. существенны (т.
е. они не следуют из А., В., С<оо).). Мы перейдем теперь к формулировке
D. и Е., а доказательство того, что все SR", SRoo обладают такими
свойствами, будет несколько отложено (см. II. 3).
D. Пространство SR полно45).
Это значит, что если последовательность fx, /2, .. • в SR удовлетворяет
критерию сходимости Коши (для каждого s > 0 существует такое N = N (е),
что \\fm - /" || <s для всех т, n^N), то
46) Мы для кратности пользуемся этими топологическими терминами. (Ср.
Hausdorff, Mengenlehre, Berlin 1927. Русский перевод; Хаусдорф. Теория
множеств, ОНТИ, 1937). Они будут пояснены при дальнейшем изложении.
42
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
она сходится, т. е. обладает пределом / (см. определение этого
понятия, данное выше).
Е. Пространство 91 сепарабельно45).
Это значит, что имеется последовательность fv /2, . .. в 9?,
которая всюду плотна в 91.
В II. 2 мы, как сказано, построим "геометрию" 91, исходя из этих основных
положений, и покажем ее тождественность с геометрией 9?" или 9?со
соответственно.
2. Геометрия гильбертова пространства
Мы начнем с двух определений. Первое из них содержит ровно столько от
тригонометрии, сколько нужно для наших целей: понятие о прямом угле -
ортогональность.
Определение 4. Два элемента / и g из 9? ортогональны, если (/, g) - 0.
Два линейных многообразия 2U и 91 .ортогональны, если каждый элемент из
