Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
согласии с данными там значениями.
Теперь остается лишь исследовать распределения |ер, 0|2 (р=?а)
и ^ерр-, чтобы определить средние М, N из 11. б..
4. Последнее проще всего: мы уже знаем, что и< ер, р^ и-\- da
(OsSMSil) имеет вероятность W(u)du (ср. 2.). Пусть а - некото-
I S
рое число >0, тогда вероятность, что 1ер_р g-J ^ а (за-
метим, что левая сторона заведомо г?1, так как 0 gs ер_ р 1) будет равна
' S 1 Г-
T-va
f + f \w(a)du =
S
T a
(s - 1)!(S - s - 1)!
7 + VH
s
Логарифмическая производная подинтегрального выражения равна
1
и (1 - и)
Г? - - 1
так что оно постоянно возрастает при приближении к и - .
~ ^ s s s - \ . S -2s 1
Это значение < , причем на "s (S - 1) - ~S '
П0ЭТ0МУ
1 S -
если , то оно лежит в интервале -^- + |/"д. В
области инте-
грирования подынтегральное выражение достигает поэтому своего максимума
при й=^-^-+]/ля (мы не различаем где). Поэтому мы
362 ДОПОЛНЕНИЕ
можем оценить все выражение, оно будет
Воспользуемся теперь тем, что 1 <С^, тогда первый множитель
(на основании формулы Стирлинга) будет-' 5") •
S / S г\^ / s а второй ~ -l-^-±yaj (1---------. Поэтому все выраже-
ние будет
\S-s
S * In (l ± -j- V a) + (S-s) In (l т V a)
У 2ns Экспонента будет
___, S У a S2a , S2a У a . 0 S лг-
_ S2a + S3a У a
~ 2s ~ 3s2
n s Уa 1
В силу -J- 1 второй член мал по сравнению с первым, так что
S -еШ
наше выражение ¦-==¦ е 2s (0 - какое-то число < 1).
у 2ns
Это относилось к вероятности, что [eftf для фиксированного р = 1, ..S.
Вероятность того, что это будет иметь место для произвольного р |^т. е.
для N= max ((еР, Р j) = •
S2 -в ¦-
в крайнем случае в 5 раз больше, таким образом ,< р. 25 .
У 2ns
Среднее значение N мы оцениваем теперь в двух областях: для значений ^0,
а вероятность во всяком случае ^=1, для значений же ^ а, 1 имеет место
указанная граница. Итак,
<j2 _е
2>i(N)^a-i- --* 25 -
У 2ns
Л S2 ' ^
1 s2
В качестве а можно выбрать любое число > ¦ мы положим
8s!nS ,
а --• (это дает все, если s)^>ln6, что безусловно должно
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И Я-ТЕОРЕМЫ 363
выполняться в силу заключительного условия из II. б. *)•) Тогда наша
верхняя граница будет
8sInS , S2 _41"5 8sInS |______________1 8sInS
в-S2 У 2its * в-S2 flfrsS2 в-S2
Так что если предпосылки 1 [s<^S выполнены достаточно сильно,
, 9sInS
то указанное среднее будет заведомо sg-^-•
б. Остается еще обсудить распределение |"piCI|2 (рфо). Обозначим р-й и
о-й столбцы {^/т.} через S={Si/p ?д/Р}, т]=(^1/а...........k/"},
и пусть I={Si/p, • •Si/pi 0.....0}. ^Воспользуемся для таких векто-
5
ров С= ..........С5}, х= (Xi- • . ..XslTaK>Ke символами (С, у) = 2 Су*,
________ Т= 1
|С| = \А(С, C)=]//'j]|CT|2.) Будет: |ер)д|2=|(^, т])|2, причем векторы ?,
'Ч как столбцы унитарной матрицы подчиняются условиям | ? | = 1, |т]| =
1, ($, т]) = 0 (т. е. оба лежат на единичной сфере и ортогональны друг к
другу).
Разложим I на компоненты - параллельную % и ортогональную ?: ?=(?.
?)•?+!• Тогда равным образом будет:\е "|2= |(1, у\) |2. При фиксированном
% (и %, ?) мы имеем, таким образом, два вектора,
ортогональные к %, а именно % и т], из которых первый фиксирован, а
второй свободно меняется на поверхности (S-1)-мерной единичной сферы.
Введем какую-нибудь (S-1)-мерную декартову систему
координат, и пусть 7] = (yj Уз-i)' Из унитарной инвариантности
нашего построения среднего следует, что усреднение (при фиксированном
?={?1/р.......?5/р}) надо проводить в точности так, как
если бы т] усреднялось в смысле 2. по (S-1)-мерной единичной сфере.
Дальше, в силу унитарной инвариантности, среднее зависит
лишь от длины, J 5 [, вектора %, поэтому можно заменить его
на ?={|?|, 0, ..., 0} ((5-1)-мерный!). В силу этого мы хотим
*) Из 'S]-- -L- следует s4, a^s>Insa. Записанное иначе
^ S" а In Sa
(ср. там): ^Ч1П 1, <^1, Так что сначала верно
sa sasa s а
sa^ySa, In sa 5= - InSa. Тем самым должно быть s4,a^s>InSa, т. е. s In 5.
364 ДОПОЛНЕНИЕ
определить сначала распределение |($, т;)|2 = UI2 • lyj2 для Ы2 =
s-i я
- 2|yJ2==l- То, 4X0 эта величина ^ и. (0<и<|?|2).
1
и , , 9 и , du ,
означает, что -^-'3==|yi| Si----------1-~- и обладает вероятностью
l?l2 l^l2 1?12
W (-i!1 -, где в W (и) из 2. надо s, 5 заменить на 1, S-1.
\ |5|2 / I5I2 Итак, коэффициент при du будет
-^i-(|f|2-K)s-2.
1 ? I ^
Но до сих пор \ было фиксировано, теперь надо усреднить его (конечно,
тоже в смысле 2.) по (S-мерной) единичной сфере. В выражение для
распределения |ер>0|2 при фиксированном \ входит
лишь |||2, а это равно (так как \ ортогонально к? - ( и к ( = = ? - (?.
?)•!)
|Г|2=(?, f) = (s. Г),
|1|2=|". l)-i|2+|f|2 = |i|4+|f|2.
|||2=|l|2(i-|l|2).
Поскольку 5 = [5ifP, • ••> 5siр)} изменяется на единичной сфере,
S
то \\\2^=Lw-\-dw (O^w^jl), т. е. w^. 2 |?т/Р|2ёз'(r)+ dw,
1- 1
обладает вероятностью 1^5 _1 s - 1)! wS~1 ^-w)s~s~l dw. Для
того чтобы получить полную плотность вероятности для | ^р, с|2 в точке и,
мы должны поэтому проинтегрировать
(S-1)1 -,5-1 /1
.ws-i (! х
