Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
Это внутреннее произведение очень важно, поскольку оно позволяет ввести
определение расстояния. В евклидовом пространстве
длина вектора определяется как ||/|| = ]/(/, /)41)> а расстояние
39) Достаточно было бы потребовать следующего: если / принадлежит ЗЛ,
то и af также; если fug принадлежат 9Ji, то f-\-g также. Тогда, если /о
•••, fk принадлежат ЭК, то axfx, a2f2, ..., akfk также, и тогда
последовательно то же верно для axfx -\-a2f2, axfx -\-a2f2-\- ...
4°) (/, /) - вещественное число вследствие эрмитовой симметрии:
действительно, для / = g имеем (/, /) = (/, /).
41) Если / имеет компоненты хх, хп, то по замечанию, сделанному в 7).
П.1 (если мы ограничимся конечным числом компонент) Vif'f)*3
в* j^/" 2 I хч I8! т. е. ||/|| есть обычная евклидова длина,
38 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА ЩЛ. II
между двумя точками определяется как ||/ - g||. Придерживаясь этой
аналогии, введем
Определение 3. "Длина" элемента / из 9t есть ||/|| =
= Y(f, /), расстояние между /, g есть ||/ - ?||42)-Что это понятие
действительно обладает всеми свойствами расстояния, мы сейчас увидим.
Докажем для этого следующую Теорему 1. Всегда |(/, g)| < ||/|| • ||^||.
Доказательство. Напишем сначала
ll/ll2+kll2-2Re(/, g) =
= (/. f) + (g' - g) - (g> f) = (f - g- f
- g)^ 0,
Re(/, (ll/ll2+IU°II2)
(если z = u-\-iv - комплексное число - и и v вещественны, то Rez и Im z
являются соответственно вещественной и мнимой частями z,
т. е. Re z - и, Im z = v). Если мы заменим / и g ш af и g
(а вещественно и больше нуля), то левая часть, как легко видеть,
не изменится. В правой же мы получим у [а1 ||/||2 -|- ||^||2|.
Поскольку это выражение isRe(/, g), то неравенство, в частности,
сохраняется и для его минимального значения ||/]| ¦ ||g|| (это значение
достигается для f, gф0 при а == j/T^T и ДЛя / = 0 или
g = 0 при а->-}-оо или при а --(- 0 соответственно). Следовательно,
Re(/> g)^ ll/ll ¦ НАНЕСЛИ мы заменим здесь / и g на eiaf и g (а
вещественно), то правая часть уравнения не изменится (вследствие того,
что (af, af) -
- аа (/,/)= | а2\(/, /), имеем || af\\ = \ а\¦ ||/|| и, следовательно,
при |aj = l ||a/|j = if/ll), а левая часть перейдет в
R е(е'Ч/. g)) = cos a Re(/, g)~ sin a Im(/, g).
Последнее выражение очевидным образом имеет максимум
l^(Re(/. g) )2 + (Im (/• g))2=\(f> ?)|.
откуда и следует предложение
|(/, g)\sz\\f\\-\\g\\-
42) Поскольку (/, /) вещественно и >0, то |/|| веществен, и мы вы-,
бираем квадратный корень ^0. То же выполняется и для ||/ - g|).
1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ АБСТРАКТНОГО ПРОСТРАНСТВА ГИЛЬБЕРТА 39
Следствие. Чтобы имело место равенство, /, g должны совпадать с точностью
до постоянного (комплексного) множителя. Доказательство. Чтобы имело
место равенство в соотношении
т. е. должно быть f=g- При переходе от этого соотношения
(а, а вещественны, а > 0), если только ни / ни g не равны нулю. Чтобы в
нем сохранялось равенство, нужно, следовательно, чтобы
или g, равного нулю, или для g - cf {с ф 0) явным образом имеет место
равенство.
Теорема 2. Всегда ||/||>0 и равенство достигается лишь для /=:0.
Выполняется ||а • /|| = |а| • ||/||. Всегда будет также ||/ + ^|| = II/H
+ ||^||, причем равенство достигается лишь для fag, совпадающих с
точностью до постоянного вещественного множителя > 0.
Доказательство. В правильности двух первых утверждений мы уже убедились
выше. Докажем неравенство третьего предложения следующим образом:
(/+*. / + *) = (/• /) + (*. *) + (/• *) + (*• /) =
= II/P + lkll2+2Re(/, *)< Ц/Ц2+ ||^f + 2 ll/ll • ||*
Чтобы достигалось равенство, Re(/, g) должна быть равна ll/ll ' llgll'
Для чег0 необходимо / или ^=0, или g = а2/ = с/ (с вещественно, > 0) в
силу выводов, сделанных при доказательстве предыдущего следствия.
Обратно, очевидно, что в этом случае равенство выполнено.
Из теоремы 2. немедленно следует, что расстоян е ||/-^|| обладает
следующими свойствами: Расстояние между fug есть нуль для f = g и только
в этом случае. Расстояние между / и g то же, что и между g и /.
Расстояние между / и h меньше или равно сумме расстояний между / и g и
между g и h. Равенство достигается только, если g=af-f-(l-a)h (а
вещественно, 0 < а < П43).
'13) По теореме 2. (которую надо применить здесь к / - g ч g - h) должно
быть / - g - 0, т. е. / - g или g - h- 0, т. е. g- h, или же
Re(/, g9^y(||/||2+||g1l2). необходимо даже, чтобы (f-g, f-g) = 0,
к |(/> S')! = ll/ll ' llsll > / и S - заменяются на
eiaaf и g
= (11/11 +ll^ll)2.
/+sll il/ll + llgl.
Q
словами, g = af-1-(1-a) h с а, равным соответственно 1, 0 или yqjy
Геометрически это означает, что точка g лежит на отрезке /, h.
40 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Расстояние между af и ag есть умноженное на |а| расстояние между / и g.
Но это как раз те самые свойства расстояния, которые дают возможность
свести в геометрии (и топологии) понятия непрерывности, ограниченности,
предельной точки и так далее к фундаментальному понятию расстояния. Мы
воспользуемся этим для следующих определений:
