Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
соответствующей математической теоремы.
Далее, в общих принципиальных вопросах новая квантовая механика
отличается от классической механики совершенно необычайной простотой **).
И именно благодаря этому обстоятельству в квантовой механике цель может
быть достигнута с помощью сравнительно простых математических средств,
если только следовать гиббсову пути. Так, в дальнейшем окажется возможным
доказать эргодическую теорему и //-теорему (которые являются двумя
указанными выше постановками вопроса) независимо от каких бы то ни было
предположений о беспорядке. Однако прежде, чем переходить к подробному
разговору об этом, не лишне сказать несколько слов о понятии
макроскопического в квантовой механике.
2. Принципиальной трудностью квантовомеханического воссоздания
гиббсовой теории является то, что здесь нельзя избегнуть обращения к
понятию "фазового пространства", т. е.-для системы с / степенями свободы-
к 2/-мерному пространству, описываемому /координатами <7,, .. ., qf и их
/ импульсами /?, pf,-все важные для этой
цели понятия (энергетическая поверхность, фазовые ячейки, микрокано-
нические и канонические ансамбли и т. д.) определяются в нем. В квантовой
механике никак нельзя построить такое фазовое пространство, так как
координата qk и ее импульс рк не могут быть измерены одновременно,
напротив, между их вероятными ошибками (разбросами) Дqk и Д/?й
всегда имеет место соотношение неопределенности Дqk ¦ Дрк~^-^ ***).
Более того, невозможно даже указать для какого-либо состояния системы два
интервала /, J таких, что qk с достоверностью лежит в /, a pk с
достоверностью лежит в J (этого нельзя сделать и тогда,
*) Ср. (также и для дальнейшего) критическое обсуждение этих условий в
работе Р. и Т. Ehrenfest, Enzykl. d. Math. Wlss., Bd. IV, 4. D. (Art. 32)
и далее Phys. Zs. 8 (1907).
**) Правда, в случае многих специальных проблем дело обстоит как раз
наоборот.
***) Ср. W. Н е I s е п b е г g, Zs. f. Phys. 43, Heft. 3/4 (1927), а
также N. Bohr, Naturwlssenschaften 16, Heft 15 (1928). Относительно
границы
4тс
см., например, H. W e у I, Oruppentheorle und Quantenmechanik, Leipzig,
1928, S. 272.
доказательство эргодической теоремы и //-теоремы 327
когда произведение их длин намного больше, чем ^ ! *)),-так что
не только непрерывное фазовое пространство, но и его дискретные разбиения
на ячейки лишены смысла! Несмотря на это, в действительности совершенно
очевидно и то, что при макроскопических измерениях координаты и импульсы
измеряются одновременно,-здесь возникает даже представление, что это
возможно благодаря неточности макроскопических измерений, которая намного
больше неточности, при которой еще можно было бы опасаться коллизии с
соотношениями неопределенности. Как же согласовать эти два противоречащих
друг другу обстоятельства?
Мы считаем, что правильной является следующая интерпретация: при
макроскопическом одновременном измерении координаты и импульса (или двух
других величин, квантовомеханически одновременно не измеримых) в
действительности одновременно и точно измеряются две физические величины,
только эти величины не являются в точности координатой и импульсом.
Пусть, скажем, это будут положения двух стрелок или места двух почернений
фотографических пластинок **),- ничто не мешает нам измерить их
одновременно и с достаточной точностью, но связь этих величин с реальными
интересующими нас физическими величинами (qk и рк) довольно
неопределенна, причем мерилом этой необходимой по законам природы
неточности связи как раз и является соотношение неопределенностей (ср.
прим. ***) на стр. 326).
Математическая формулировка: квантовая механика сопостав-
ляет величинам qk и рк известные операторы Qk = qk... и
*) Это означает, что если волновая функция <р (ql qj) обращается
в нуль для всех значений дк, лежащих вне какого-нибудь конечного
интервала /, то ее коэффициенты Фурье c{pl pj) (мы разлагаем
оо оо 2и/
V (?1> •••• ?/)= J ••• J с(Ри Pf)eh Р'Ч'+" +Pf4f^ dPl ... dpf)
"ОО "СО
должны всегда =/=0 при произвольно больших рк.
**) Координату и импульс частицы можно представлять себе измеренными в
смысле цитированных в прим. ***) на стр. 326 работ, скажем, следующим
образом: с одной стороны, частица освещается пучком света,
сфокусированным в приблизительном месте ее нахождения, и рассеянный свет
фотографируется (координата) и, с другой стороны, частица освещается
достаточно монохроматичным и плоскопараллельным пучком света, причем
отраженный свет фотографируется после прохождения через призму (для
констатации длины волны) (импульс). Естественно, что должна соблюдаться
связь между точностями, обусловленная соотношением неопределенностей.
Таким образом получаем на двух пластинках два почернения, устанавливающие
с известными точностями координату и импульс.
328
ДОПОЛНЕНИЕ
Pk = ~. j-~ ...*), неперестановочность которых [(1кРкФ PkQk, раз-
h \
ность же равна, как известно, 11 соответствует одновременной
