Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 13

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 145 >> Следующая

пространство символом 9tra (как сокращенное обозначение со-мерного
евклидова пространства, аналогичное обычному обозначению 9t" для ""-
мерного евклидова пространства" [п- 1, 2, ...]).
Самое замечательное в операциях а/, / + g, (/, g) это то, что это как раз
основные операции векторного исчисления: те операции, которые делают
возможным введение вычисления длин и углов в геометрии Евклида или
вычислений, относящихся к силе и работе в механике частиц. Аналогия
становится совершенно ясной в случае Fz, если вместо xv х2, ... в 9^ мы
рассмотрим обычные точки
хп из Шп (для которых ведь операции "), |3), у) могут быть
определены так же точно). В частности, для п = 3 мы имеем случай обычного
пространства. В некоторых случаях более удобно говорить о комплексе xv ..
., хп не как о точке, но как о векторе, направленном из точки 0, . .., 0
в точку хг хп.
Итак, для того чтобы определить абстрактное гильбертово пространство, мы
возьмем за основу фундаментальные векторные операции а/, / i g, (/, g).
Как окажется при обсуждении, к которому мы переходим, мы одновременно с
9?ш охватим и все Поэтому, пока мы еще не хотим специально различать
между 91^ и 9?", мы будем пользоваться нейтральным символом 91 как общим
обозначением пространства.
Постулируем прежде всего в 9t характерные векторные свойства 37):
A. 9t есть линейное пространство.
Это значит: в 9t определены сложение fg и умножение на "скаляр" af (/, g
- элементы 9t, а - комплексное число; / ± g и а/ принадлежат 91), и 9t
имеет нулевой элемент О38).
37) Характеристика 9?л через А., В., CSвосходит к Wey Гю (см. Raum, Zeit,
Materie, Berlin (1921)). Если мы хотим получить 9?^, вместо 91", то
естественно Сзаменяется на С.^°°К Только в этом случае возникает
необходимость в D., Е., ср. обсуждение в тексте ниже.
38) Кроме начала координат или нулевого вектора в 9( есть также число 0,
так что один символ употребляется для обозначения двух различных вещей.
Однако отношения между ними таковы, что путаницы при этом не возникает.
3*
36
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Таким образом, для этого пространства выполняются известные правила
векторной алгебры
Правила вычислений, не указанные здесь, непосредственно следуют из этих
постулатов. Например, роль нулевого вектора в сложении:
(/ + §¦) - §¦ = (/ + §¦)+(-§¦) = / + (§¦ + (-§¦)) J
= / + ((-!)¦*+! •*) = / + ((-1)+1)-* = = / + о-* = /+о = /.
а • if - g) = а ¦ f -\г а ¦ {- g) = af -\г а ¦ ((-1) • g) =
= + • (- 1)) • g = af + {(- l)fl) ¦ g =
= af + (- ag) - af - ag, (a - b) • f - a • / + (- b) • f - af (-1) b) ¦ f
=
He стоит, пожалуй, продолжать эти примеры дальше, и так должно быть ясно,
что все правила линейного векторного исчисления здесь имеют место.
Мы можем, следовательно, как и для векторов, определить, когда известные
элементы Д, .... fk пространства 9? будут линейно независимы.
Определение 1. Элементы Д, Д линейно независимы, если из 0^+ ••• -\-akfk
= 0 (ад. •••• ак - комплексные числа) следует, что а1 = а2= ... - ак - 0.
Определим далее аналог линейных объектов векторного исчисления (линия,
плоскость и т. д., проходящие через начало координат) - линейное
многообразие,
f-\rg = g-\rf (коммутативность сложения),
(/ + g) + h =/ + (§" + h) (ассоциативность сложения),
(,ab) / = a{bf) (ассоциативность умножения),
0/=0, 1/=1 (роль нуля и единицы).
тогда
(/ - ?) + g = (/ + (- ?)) + g = f + ((- §¦) + g)
Или дистрибутивные законы умножения при вычитании
= а/ + (- bf) = af - bf.
1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ АБСТРАКТНОГО ПРОСТРАНСТВА ГИЛЬБЕРТА 37
Определение 2. Подмножество пространства 9^ называется линейным
многообразием, если оно вместе с какими-либо k (k=\, 2, ...) его
элементами fv /ft39) содержит и их линейные комбинации ... -j- akfk.
Если
ft есть произвольное подмножество 91, то множество всех "i/i + ... -\~o-
kfk (k=\, 2, ...; av ..., ak - произвольные комплексные числа; fv ..., fk
- произвольные элементы ft) есть линейное многообразие, которое очевидно
содержит ft. Ясно, что оно является также подмножеством любого другого
линейного многообразия, содержащего ft. Оно называется "линейным
многообразием, натянутым на ft" и обозначается символом {ft}.
Прежде чем дальше развивать эти представления, сформулируем следующий
основной принцип векторного исчисления - существование внутреннего
произведения.
В. В 9t определено эрмитово внутреннее произведение.
Это означает: определено (/, g) (/ и g - элементы 91
(/, g)-комплексное число) со следующими свойствами:
(/' + /", g) = (/', g)-\-(J", g) (дистрибутивность относительно
первого множителя),
(а ' /• ё)- а ' (/• ё) (ассоциативность относительно
первого множителя),
(/, g) - (g, f) (эрмитова симметрия),
(/, /)>0 и =0 лишь при / = 04°) (дефинитность).
Соответствующие два закона для второго множителя следуют из законов для
первого и свойства эрмитовой симметрии (поменяем / и g и возьмем
комплексно-сопряженные с обеих сторон):
(/. *' + "") = (/. ^) + (/. g%
(/. а ¦ ё) = а ¦ (/, g)¦
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed