Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 129

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 145 >> Следующая

1 ( h д \2 . 1 ( h д у
2т1 \ 2я/ dq ) ' 2 т2 \ 2ш дг )
в операторе энергии можно будет пренебречь, и в Н останется только
ответственная за измерение энергия взаимодействия, для которой мы
выберем специальную форму Я ¦
Зависящее от времени дифференциальное уравнение Шредингера для волновой
функции = г) системы 1-\-П будет тогда гласить:
= г)'
т. е.
+ г) = 0'
что приведет к
Ф<(?. r) = f(q, r - tq).
Если для ^ = 0 ф0(^, г) - Ф(^, г), то мы получим f(q, r) = 0(q, г) и,
следовательно,
Ф<(?. г) = Ф(д, r - tq).
Если, в частности, начальные состояния систем I и II представляются
функциями ср(<7) и Е(г), то, в духе нашей вычислительной схемы (если
выбрать участвующее в ней время t равным 1), будет
ф(<7. г) = ср (q) ? (г), г) = ^(q, г) = ср (q) % (г - q).
Покажем теперь, что найденные результаты могут послужить для измерения
координаты системы / системой II, т. е. что координаты q и г взаимно
связаны. (Поскольку q и г обладают непрерывным спектром, т. е. только
сколь угодно точно, но не абсолютно точно измеримы, то это может удаться
только приближенно.)
Допустим для этой цели, что ? (г) отлична от нуля только в очень узком
интервале - е < г0 < е (т. е. что координата г наблюдателя
21
324 ПРОЦЕСС ИЗМЕРЕНИЯ (гл. VI
известна до измерения очень точно). Кроме того, 5 должна, естественно,
быть нормированной:
||?|| = 1, т. е. J\^(r)\2dr = 1.
Вероятность того, что q лежит в интервале q0 - 8 < q < q0-{- 8, а г - в
интервале г0 - 8' < г0 < г0+ 8', будет тогда составлять
?о + 5 Го + б* Го + б'
J / \Ф'(Ч> r)\2dqdr= J J \y(q)\2\%(r - q)\2dqdr.
Qq- S Го-5f Го-S'
Если q0 и r0 отличаются друг от друга больше чем на 8 -8' -е, то она
обратится в нуль, т. е. q и г связаны столь сильно, что их разность
никогда не может стать > 8-f-S'+e. Для случая же r0 = q0 она, если мы
выберем 8'^8-f-e, будет из-за допущений-относительно ?
равняться I | ср (q) \2dq. Так как, однако, мы можем выбрать 8,8'
<?о-8
и е сколь угодно малыми (они должны быть только ббльшими нуля!), то это
значит, что q и г связаны сколь угодно сильно, а плотность вероятности
имеет требуемое квантовой механикой значение |<р(<7)|2.
Таким образом, условия для измерения в той форме, как они обсуждались в
VI. 1 ив этом параграфе, осуществляются.
Обсуждение более сложных примеров, например, аналогичных нашему
четырехчленному примеру из VI. 1, или таких, как контроль со стороны
второго наблюдателя III измерения, выполненного II над I, проводится
совершенно аналогично. Мы предоставим его читателю.
ДОПОЛНЕНИЕ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭРГОДИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ И //-ТЕОРЕМЫ В НОВОЙ МЕХАНИКЕ *)
Показывается, каким образом должно разрешаться кажущееся противоречие
между макроскопическим понятием фазового пространства и существованием
соотношений неопределенности. Затем дается квантовомеханическое
истолкование самых основных представлений статистической механики,
формулируются и доказываются (без "допущения о беспорядке") эргодическая
теорема и //-теорема. После этого следует обсуждение физического смысла
математических условий, ограничивающих области их применения.
Введение
1. Темой настоящей работы является выяснение связи между
макроскопическим и микроскопическим рассмотрениями сложной системы, т. е.
обсуждение вопроса, почему дело обстоит так, что обычные
термодинамические методы статистической механики дают возможность делать
в подавляющем большинстве правильные утверждения относительно систем,
известных неполным образом (т. е. только макроскопически). В частности:
каким образом, во-первых, возникает своеобразное, казалось бы,
необратимое поведение энтропии и почему, во-вторых, для известной
неполным образом (реальной) системы позволительно подставлять
статистические свойства (фиктивного) микро-канонического ансамбля **). И
на эти вопросы мы должны ответить, пользуясь средствами квантовой
механики.
Как известно, в классической механике эти вопросы привели к построению
двух детально разработанных теоретических систем: больцмановой и
гиббсовой статистических механик. Первая теория не
*) J. V. Neumann, Zs. f. Phys. 57, 30-70 (1929).
**) Здесь имеются в виду замкнутые и изолированные системы. Известно, что
для системы, сообщающейся с большим тепловым резервуаром,
характеристичным является так называемый канонический ансамбль. Но методы
статистической механики позволяют без труда свести этот случай к
предыдущему, если только тепловой резервуар присоединить к системе.
326
ДОПОЛНЕНИЕ
смогла дать окончательного и удовлетворительного решения, потому что в
ней приходится существенно пользоваться так называемым предположением о
"беспорядке", - а понимание природы этого "беспорядка" и представляет как
раз основную задачу *). Вторая теория по своему подходу была бы вполне
пригодна для этого: однако она привела к математической проблеме, так
называемой проблеме квазиэргодичности, оказавшейся абсолютно
непреодолимой ни при тогдашнем состоянии науки, ни при нынешнем. Поэтому
теория Гиббса приведет к цели, только если предположить правильность
Предыдущая << 1 .. 123 124 125 126 127 128 < 129 > 130 131 132 133 134 135 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed