Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
сетчатка и изображение на ней) и значения которой однооднозначно связаны
со значениями величины А. Пусть значения А будут аР а2, .... значения В-
bv b2, .... а нумерация выполнена так, что как раз ап и Ьп связаны друг с
другом.
Первоначально / находится в (неизвестном) состоянии ср (q), а II-в
(известном) состоянии ?(г), следовательно, / + // - в состоянии Ф(<7> /¦)
= ср (дс) 5 (/")- Измерение (пока оно проводится системой II над системой
I) совершается, как и в прежнем примере, посредством оператора энергии Н
(в / + //) за время t. Это будет
- сН
процессом 2., который превратит Ф в Ф' = е Л Ф. С точки зрения
наблюдателя III об измерении можно заговорить, только если дело обстоит
так, что начни III измерять посредством процесса /. одновременно
измеримые величины А и В (в / и соответственно в II, или же обе в / +
//)> то пары значений ат, Ьп с тфп стали бы появляться лишь с
вероятностью нуль, напротив, пары с т = п - с некоторыми определенными
вероятностями wn. Иными словами, достаточно "рассмотреть" II, чтобы А из
/ оказалась бы измеренной. Квантовая механика потребует тогда еще, чтобы
wn=\(y, срп)|2.
Произойди такое, и процесс измерения, в той мере, в какой он протекает в
II, будет теоретически "объяснен" - рассматривавшаяся в VI. 1 граница
сдвинута из положения /\II -f- /// в / -|- // |///.
Итак, математическая задача состоит в следующем. Задана полная
ортонормированная система срр ср2* • • • в Такую же систему Sp S2. • • •
в W1, равно как и состояние I в 9t/;, надо найти. Далее следует подобрать
оператор (энергии) Н в Ш,+и и значение t так, чтобы выполнялись следующие
условия. Если ср- произвольное состояние в 9t;, а
/н
Ф (<7> г) = ср (<7) $ (г), Ф'(<7, г)=е * Ф {q, г)
по построению, то Ф' (q, г) должна представляться в виде
ОО
2 сп<?п (я) (г) (коэффициенты сп могут, естественно, зависеть от ср).
л=1
При этом должно быть |с"|2= J(ср, ср")|2 (то, что последнее условие
соответствует сформулированным выше физическим требованиям, было выяснено
в VI. 2).
В дальнейшем мы будем наряду с срр ср2, ... считать фиксированными и $2,
• • • и а вместо Н искать унитарный оператор
А ~ТГ <Н
Д = е *
Математическая задача сводится к уже разрешенной в VI. 2: там была задана
Ф', и мы показали существование сп, ср" и теперь нам заданы
21 И. Нейман
322
ПРОЦЕСС ИЗМЕРЕНИЯ
[ГЛ. VI
постоянные срл, \п и зависящие от ср Ф и сп, и задача состоит в том,
чтобы так определить Д, чтобы эти сп, срл и %п получились бы из Ф' = ДФ.
Мы покажем, что такое построение Д действительно возможно. При этом мы
будем интересоваться лишь принципиальной стороной дела, т. е. вопросом
существования какого-либо такого Д. Дальнейший вопрос о том, обладают ли
требуемыми свойствами операторы
' /н
Д = е п простейших наглядных схем постановки опытов (напри-мер,
рассмотренных в III. 4), не должен нас заботить. В самом деле, поскольку,
как мы видели, наши условия действительно совпадают с наглядным критерием
измеримости и, с другой стороны, в упомянутых схемах опытов наглядные
требования к измерению тоже удовлетворяются, то квантовая механика должна
была бы приводить к грубо противоречащим наблюдению результатам, если бы
соответствующие Д не удовлетворяли бы (по крайней мере приближенно) нашим
условиям 215). Таким образом, в дальнейшем нам надо будет найти только
абстрактный оператор Д, точно удовлетворяющий нашим условиям.
Итак, пусть функции срт (т = 0, ±1, ±2, ...) и (п = О, ±1, +2, ...)
образуют две заданные ортонормированные системы в и соответственно в Ct77
(мы даем теперь тип пробегать не значения 1, 2, ..., а значения 0, +1,
+2, это основано на технических соображениях и не имеет принципиального
значения) и пусть, простоты ради, состояние \ совпадает с ?0. Определим
оператор Д равенством
ОО оо
Д 2 ¦*WPm(?H/i(7') = 2 Xm"9m(q)tm + n(r)-
т, п = - со т, п- -оо
Поскольку как <рт(?)?"(/¦), так и срт(д)$п+т(г) образуют в 9t7+77 полные
ортонормированные системы, то такое Д будет унитарным. Теперь
ОО
?(?) = 2 ("р. <?т) "?*,(<!)• Hr) = io(r).
т- -оо
Следовательно,
ОО
Ф (д, г) = ср (д) ? (г) = 2 ("р. <Рт) • <Рт (?) ^0 (О
т= - оо
и
оо
Ф'(д, г) = АФ(д, г)= 2 ($• • УтШт(г).
т- - оо
г15) Для рассматривавшегося в III. 4 измерения положения соответствующее
вычисление имеется в работе W е i г s а с k е r'a, Zs. f. Phys. 70
(1931).
3]
ОБСУЖДЕНИЕ ПРОЦЕССА ИЗМЕРЕНИЯ
323
Но тем самым наша цель достигнута, мы добились даже равенства сп = (?'
?П)-
Мы получим, однако, более наглядное представление о механизме этого
процесса, рассмотрев пример с конкретными шредингеровыми волновыми
функциями и задавая само Н вместо Д.
Как наблюдаемый объект, так и наблюдателя (т. е. / и II) будет достаточно
охарактеризовать одной непрерывно пробегающей от - оо до -1" оо
переменной q или г, т. е. мы будем представлять их как линейно
двигающиеся точки. Их волновые функции будут иметь вид ф(<7) и г] (г). Мы
примем, что их массы тг и т2 столь велики, что кинетической энергией
