Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нейман И. -> "Математические основы квантовой механики" -> 12

Математические основы квантовой механики - Нейман И.

Нейман И. Математические основы квантовой механики — М.: Наука, 1964. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnovikvantovoymehaniki1964.pdf
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 145 >> Следующая

математическим трудностям. С другой стороны Fz и Fа изоморфны, т. е.
идентичны по своей внутренней структуре (они реализуют одни и те же
абстрактные свойства в различных математических построениях) - и
поскольку они (но не сами Z и2!) суть собственно аналитические субстраты
матричной и волновой теорий, то этот изоморфизм значит, что обе теории
должны приводить к одним и тем же численным результатам. Поэтому,
например, изоморфизм сопоставляет матрицу
Н = H(QV
Qv Pv
Pk)
и оператор
М = Н q ,
h
^к' 2ni
d
dq, '
2 ni dq.
друг другу. Поскольку и та и другой получены с помощью одних и тех же
алгебраических операций из матриц Qv Pt (I- 1, ... k) и функциональных
операторов
Ь (,= 1 S)
соответственно, то достаточно показать, что qv ... отвечает матрице Qv
... и -щ- , ... матрице Pt, ... Далее, от матриц Qt, Рг
(/=1, ... к) не требовалось ничего, кроме того, чтобы они удовлетворяли
правилам перестановки, упомянутым в I. 2:
QmQn ~ QmPn-
QnQm : -PnQm-
О, РтРп
2 Tci
1
-Р Р
* п1 Г
при
при
, = о,
т ф п
т ¦¦
: П.
(т, га = 1, 2, ...)
Но матрицы, соответствующие (по изоморфизму) qt, ..., ,....
безусловно будут им удовлетворять, поскольку сами функциональные
4]
ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО
33
операторы qv . .., -А- -А. , .
.. обладают этим свойством зе), и свой-
ства эти не теряются при изоморфном переносе на Fz.
Поскольку системы Fz и F$ изоморфны, и поскольку квантовые механики,
построенные на них, математически равнозначны, то следует ожидать, что
единую теорию, не зависимую от случайностей формальной схемы, выбранной в
свое время, и представляющую только действительно существенные черты
квантовой механики, можно будет построить, лишь если изучить основные
внутренние свойства (общие для Fz и Fq), присущие этим системам функций,
и взять именно их за исходную точку построения.
Система Fz обычно называется "пространством Гильберта". Таким образом, в
первую очередь речь пойдет о том, чтобы разыскать те внутренние свойства
гильбертова пространства, которые не зависят от специальных свойств его
частных воплощений Fz или Fа- Математический образ, описываемый этими
свойствами (и который в конкретных частных случаях можно в целях
вычислений с равным правом принимать за Fz или F$, но для общих целей
удобнее рассматривать непосредственно), будем называть "абстрактным
гильбертовым пространством".
Итак, мы хотим описать абстрактное гильбертово пространство и затем с
полной строгостью доказать следующие положения:
1. Что абстрактное гильбертово пространство однозначно характеризуется
свойствами, которые будут указаны, т. е. что оно не допускает более
существенно различных реализаций.
2. Что его свойства осуществляются как в Fz, так и в Fq.
(При этом вещи, обсуждавшиеся в 1.4 лишь качественно, будут
строго проанализированы.) Когда это будет сделано, мы применим получаемый
таким образом математический аппарат к построению квантовой механики.
36) Мы имеем
9тЧпЧ Як) = qnqm4 (?,....Чк),
О при тфп,
4{4l---qk) при т = п,
из чего прямо следуют нужные операторные соотношения.
3 И, Нейман
ГЛАВА II
ОБЩИЕ СВОЙСТВА АБСТРАКТНОГО ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
1. Определение абстрактного пространства Гильберта
Нам надо теперь выполнять программу, предложенную в конце 1.4: определить
гильбертово пространство,- которое даст нам математическое основание для
трактовки квантовой механики, - в терминах исключительно тех понятий,
которые впоследствии войдут в саму квантовую механику и которые в силу
этого будут иметь равный смысл как в "дискретном" функциональном
пространстве Fz последовательностей x:v (v=l, 2, ...), так и в
"непрерывном" пространстве Fs волновых функций ср^, .... qk) (qj qk
пробегают все конфигурационное пространство 2). Эти понятия, как мы уже
однажды указывали, суть следующие:
а) Умножение на скаляр, т. е. перемножение (комплексного) числа а и
элемента / гильбертова пространства: af. В Fz при этом из хv получается
ахv, а в Fa из cp(<7j qk) получается
a?(?i Ян)-
Р) Сложение и вычитание двух элементов fug абстрактного гильбертова
пространства / ± g. В Fz при этом из хv
и yv получается л;, ± yv; в Fs из сf(q1 ?#) и qk)
получается f(q1 qlt)±ty(ql qk).
у) "Внутреннее умножение" двух элементов fug абстрактного гильбертова
пространства. В отличие от а), Р) эта операция приводит к (комплексному)
числу, а не к элементу гильбертова пространства (/, g). В Fz при этом из
хv и yv получается а в Fa из ср(?, qk) и ф(^ qk)
V
получается <Р(?1...................?*Ж?1.qk)dq^... dqk.
2
(Определения в Fz и в Fs должны быть пополнены необходимыми
доказательствами сходимости. Мы приведем их в II.3).
1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ АБСТРАКТНОГО ПРОСТРАНСТВА ГИЛЬБЕРТА 35
Кроме того, в дальнейшем мы будем последовательно обозначать
точки абстрактного гильбертова пространства буквами /, g..............
ср, ф комплексные числа - буквами а, Ь х, у а целые
положительные числа - буквами k, I, т р,, v, ... Мы будем
также в случае необходимости обозначать абстрактное гильбертово
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed