Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
265
в случае же обоих примеров частиц с массой-это
(от-масса, V - потенциальная энергия). Наши критерии будут гласить, что
w";. должны обращаться в нуль или же что V должно быть постоянно, или же
что т, должно быть очень велико. Но это как раз и приводит к тому, что М"
или Рх, Ру, Pz или Qx, Qy, Qz начинают коммутировать с указанными Н-
В заключение следует подчеркнуть, что "делание стационарными" собственно
интересующих нас состояний (здесь это cpj, ср2. • • •) играет роль также
и в других отделах теоретической физики. Предположение о возможности
прерывания химических реакций (их "отравления"), которое часто необходимо
в физико-химических "мысленных экспериментах", имеет именно такую
природу183).
Два воздействия /. и 2. отличаются друг от друга фундаментальным образом.
То, что оба они по форме однозначны, т. е. причинны, не существенно:
действительно, так как мы рассматриваем статистические свойства смесей,
то не удивительно, что любое изменение, даже если оно статистическое,
приводит к причинному изменению вероятностей и математических ожиданий.
Ведь именно по этой причине и вводят статистические ансамбли и
вероятности! Очень существенно, напротив, то, что 2, не приводит к
увеличению существующей в U статистической неопределенности, тогда как /.
приводит к такому увеличению: 2. переводит состояния в состояния
а /. вполне может перевести состояние в смесь. В этом смысле можно
сказать, что эволюция состояния согласно /. является статистической, а
согласно 2. - причинной.
Далее, при фиксированных Н и t, 2. является просто унитарным
из U-f = g следует, что Ut(Af)=Ag, так что Ut получается из U с помощью
унитарного преобразования А гильбертова пространства и тем самым с
помощью некоторого изоморфизма, который оставляет инвариантными все наши
основные геометрические представления (ср. принципы, разъясненные в 1.4).
Поэтому 2. обратимо: доста-
можно считать совершенно произвольными унитарными операторами
м t н
преобразованием всех U: Ut=AUA х, А = е Л унитарно, т. е.
точно заменить А на А \ а это возможно в силу того, что А и А 1
ш) Ср., например, Nernst, Theoretische Chemie, Stuttgart (многочисленные
издания, начиная с 1893), книга IV, Обсуждение термодинамических
доказательств "закона действующих масс",
266
ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ
[ГЛ. V
благодаря далеко идущей свободе в выборе Н и t. Точно так же как и
классическая механика, 2. не воспроизводит поэтому одну из наиболее
важных и удивительных черт реального мира, а именно его необратимость,
фундаментальное различие между направлениями времени в "будущее" и в
"прошлое".
Фундаментальным образом по-иному ведет себя переход
оо
С?п)Р{^
п=1 1
не является безусловно обратимым. Вскоре мы увидим, что он вообще
необратим: в том смысле, что вообще невозможно возвратиться от данного U'
к его U с помощью повторного применения какого-нибудь из процессов 1. или
2. I
Здесь мы достигли такого положения, когда целесообразно привлечь
термодинамические методы рассмотрения, так как лишь они позволяют нам
правильно понять различие между /. и 2., в котором замешаны вопросы об
обратимости.
2. Термодинамические вопросы
Мы будем исследовать термодинамику квантовомеханических ансамблей с двух
различных точек зрения. Сперва мы предположим справедливость обоих
основных начал термодинамики, т. е. невозможность perpetuum mobile
первого и второго рода (законы энергии и энтропии)184), и вычислим,
исходя отсюда, энтропию каждого ансамбля. При этом будут применяться
обычные средства феноменологической термодинамики, а роль квантовой
механики ограничится лишь тем, что наше термодинамическое рассмотрение
будет относиться к таким объектам, поведение которых определяется
законами квантовой механики (нашим ансамблям, равно как и их
статистическим операторам U), - правильность же обоих основных начал
предполагается и не доказывается. Затем мы перейдем к доказательству
выполнения основных начал в квантовой механике, причем выяснится, что
закон энергии выполняется без каких-либо оговорок, а закон энтропии -
лишь в рамках задачи. Именно, мы покажем, что воздействия 2. никогда не
уменьшают энтропию, вычисленную по первому способу. Такая
последовательность, казалось бы, несколько неестественна, но обусловлена
тем, что только в ходе феноменологического обсуждения нам удается
достигнуть того понимания
ш) Построенную на такой основе феноменологическую систему термодинамики
читатель сможет найти в бесчисленных учебниках, например
в книге: М. Planck, Vorlesungen fiber Thermodynamik, Berlin, 1930.
Для
дальнейшего особенно существенно статистическое понимание обоих начал,
как оно разъясняется, например, в работах: Einstein, Verh. d. deutsch.
phys. Gesel. 12 (1914); L. S z 1 U г d, Zs. f. Phys. 32 (1925).
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
267
всей проблемы, которое потребно для рассуждений второй половины задачи.
Итак, мы начинаем с феноменологического рассмотрения, которое, между
прочим, позволит нам также разрешить один известный парадокс классической
