Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
достоверностью (М. в IV.3). Этот ансамбль находится в состоянии <рл с
(правильно нормированным) статистическим оператором Р[?пу Собирая эти
подансамбли, мы получим, таким образом, смесь со статистическим
оператором
т">/>ы.
Пусть теперь R обладает чисто дискретным спектром, a <plt <р2, ... и Xj,
Х2, ... имеют прежний смысл, за исключением лишь невырожденности, т. е.
среди Хл могут быть равные друг другу собственные значения. Тогда процесс
измерения не определен однозначно (как уже было, например, в случае @ в
IV.3). Действительно, пусть (ij, [а2, ...-различные вещественные числа, а
5-оператор, соответствующий <рг, <р2, • • • и р2, ... Пусть этому
оператору отвечает величина (r). Определим функцию F (х):
F(K) = V-n (л="1. 2, .. .).
1]
ИЗМЕРЕНИЕ И ОБРАТИМОСТЬ
259
тогда F(S) = R и, значит, F(<2>) = 91. Таким образом, измерение (r) можно
рассматривать как измерение 91. Это превращает оператор U в оператор U',
определенный выше, причем U' не зависит от (совершенно произвольных) p.j,
р2 н0 зависит от cpj, ср2 хотя
эти собственные функции, в силу кратности собственных значений R, не
определяются единственным образом. В IV.2 мы установили, основываясь на
II.8, что можно сказать относительно ср2, ср2, ...: пусть
X', X", . .. -различные собственные значения среди Хг Х2 пусть
9)?Х', ...-множества /, удовлетворяющих уравнениям Rf =
= Х7, Rf = X"/. ... Пусть еще х2 х'. Xl........................ - про-
извольные ортонормированные системы, растягивающие 2КХ', 9)tx*, ...
соответственно. Совокупность всех х!у х2. • • •. Ху Ху образует
тогда самую общую систему ср2, ср2, ... Таким образом, U' может в
зависимости от выбора <$, т. е., собственно, в зависимости от выбора
измерительной процедуры, иметь вид любого выражения типа
А это выражение однозначно лишь в особых случаях.
Укажем теперь такой особый случай. Каждое отдельное слагаемое должно в
этом случае быть однозначным. То есть для каждого собственного значения
X, если 9№х означает множество /, удовлетворяющих уравнению Rf = Xf,
сумма 2 (УХп* ХгдР[гп] должна иметь
П
одно и то же значение при любом выборе ортонормированной системы Xv Xi< •
• •> на которую натягивается 2){х. Назовем эту суммуV, тогда дословное
повторение рассуждения из IV.3 (там только U0, U, ЙК надо заменить на U,
V, 2КХ) показывает, что должно быть V = {с\ - константа, >0), а это
требование эквивалентно
справедливости равенства (Uf, /) = сх(/, /) для любого / из 5№х.
Поскольку эти / совпадают со всеми Pmxg Для любых g, то мы требуем
(UPm>g, Pmxg) = сх (Pmxg> pmxg).
т. е.
(Рш-UPmyg, g) = с, (Pw-Jg• g),
т. е.
Рш-U Ртх = с\Рчях
для любых собственных значений X оператора R. Если же это условие,
которое, очевидно, сильно ограничивает U, не выполняется, то различные
процедуры измерения действительно могут преобразовать U в различные U'.
(Тем не менее, исходя из термодинамических принципов, в V.4 мы сможем в
общем случае сказать еще кое-что относительно результата 91-измерения.)
17*
260
ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ
[ГЛ. V
В-третьих, пусть R вообще не имеет чисто дискретного спектра. Тогда, в
соответствии с III.3 (или IV.3, критерий /.), соответствующая величина не
может быть измерена с абсолютной точностью, а 91-измерения с ограниченной
точностью, как указывалось по этому поводу выше, равнозначны измерениям
некоторых величин с чисто дискретным спектром.
Другой тип воздействий на материальную систему, - в противоположность
разрывным, непричинным и мгновенно действующим экспериментам или
измерениям, - представляет нам временнбе дифференциальное уравнение
Шредингера. Это уравнение описывает непрерывное и причинное изменение
системы с течением времени, если только известна ее полная энергия. Для
состояний ср это уравнение имеет вид
. м . д 2т I .
(*•) -jfi-'tt--------Нср,,
где Н - оператор энергии.
Для статистического оператора состояния ср*, ?/*=Р^j это уравнение дает
нам
(^()/=|(1/(/)=4((/, *).*)-= (/• 4i *<) • ъ + ъ) ¦ -§Г Ъ =
=-(/• пгHtp<)'^~V'
= -j- ((Н/. ?,)*H?,) = -^(C/,H-H*/,)/.
(2г.) 4tU, = *T(UtH-HUd.
Если же U{ - не состояние, но смесь многих состояний, скажем -Pjy2)]' •••
с соответствующими весами wv w2, ..., то он
должен изменяться так, как это следует из изменений отдельных P[^(i)],
••• Складывая соответствующие уравнения Z2., при-
ходим к выводу, что Z2. имеет место также и для этого Ut. Но ведь все U
являются или смесями такого типа, или же их предельными случаями
(например, любое U с конечным Spur U является такой смесью), поэтому
можно объявить Z2. справедливым всегда.
В Z2., как и в дифференциальном уравнении Шредингера Zi" Н может, кроме
того, зависеть от t. Если же это не так, то можно дать явные решения, а
именно для Z\" как мы уже знаем,
1]
ИЗМЕРЕНИЕ И ОБРАТИМОСТЬ
261
а для Zt.
2 ni 2ict
(Zi) Ut = e--'-HU0e-''H.
(Легко проверить, что эти выражения являются решениями, а также что они
следуют одно из другого. Ясно также, что имеется лишь одно решение при
заданных начальных значениях ср0 или соответственно U0: дифференциальные
