Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
вещественные числа, а оператор R определен посредством
Я ( 2 хпЧп + 2 УяФя) - 2 'knxnRn + 2 РяУяФ/г
\ п п } п п
Оператор R имеет, очевидно, чисто дискретный спектр Хр Х2, .... [Хр [х2,
... с соответствующими собственными функциями <рр ср2, ...,
фр ф2 причем все собственные значения просты. Если F (х)-
какая-нибудь функция, для которой
F(K")=l, F(pn) = 0,
то F (R) имеет для <рр ср2, ... собственное значение 1, а значит, и
для любого / из 2R. В случае же фр ф2, ... собственным значением
будет 0, а значит, и для любого / из 91-9Й. Таким образом, E - F (R).
Если R принадлежит 91, то тем самым = F (91) и (?-изме-рение можно
истолковать как 91-измерение.
В этом случае мы можем вычислить, какая связь существует между U0, U.
После 91-измерения каждая система будет находиться в одном
из состояний <рр ср2 фр ф2, . . . в соответствии с тем, какое из
значений Хр Х2 р,р р2, ... было обнаружено. Относящиеся сюда
вероятности будут равны соответственно
Spur (U0P[9l]) = (U0срр tpj), Spur (U0PM) = (UQcp2, cp2)...
Spur {U0P{,h]) = (?/0фp <h), Spur (и0Рш) = (Ц,ф2, ф2), . ..
(ср. соображения из III. 3, справедливость которых была нами
установлена). Это значит, что эти части ?/0-ансамбля переходят в ансамбли
(собственных функций оператора R), т. е., вообще говоря, измерение
изменяет состояние системы S. Аналогично, (c)-измерение также изменяет
состояние, поскольку после него в случае положительного результата
оказывается U - а в случае отрицательного результата, напротив, U (I -
P^) - U, ?/Pj?] = 0, т. е. ?/<р = 0, тогда как первоначально ни один из
этих случаев не был обязательным. Это квантовомеханическое "отыскание"
состояния, таким образам, изменяет его, как и следовало ожидать.
254
ДЕДУКТИВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
[ГЛ. IV
Ры, РЫ. .... Р[<\>,1> Я|фа], ... Поскольку значению (c)==1 соответствует 9t
= Xj, Х2 то ^/-ансамбль возникает путем объединения
первой группы. Таким образом, находим
Далее, каждый оператор Р[<?п\ перестановочен с R179), а потому R должен
коммутировать и с U. То есть если U перестановочно не с любым из
операторов R, получающихся указанным способом, то некоторые измерительные
процедуры (а именно те, которые основываются на соответствующих 91)
исключаются при приготовлении U из Ua. Тогда мы знаем об U больше, чем
то, что он возник посредством (c)-измерения. Но поскольку U как раз должен
представлять это состояние наших знаний, то мы попытаемся придерживаться
следующего условия: если имеются такие U, для которых не приходится
исключать ни одного измерительного процесса из величины (c), то мы окажем
им предпочтение. Посмотрим поэтому, существуют ли такие U и что они собой
представляют!
Как мы видели, U должен был коммутировать со всеми R, получающимися
указанным способом. Отсюда следует, что RUyn = URyn = = U (kn<fn) =
\nU<fn, т. е. U?n является собственной функцией оператора R с собственным
значением Х", в силу чего ?/срл = а"срл. В частности, и<рг - а^. Пусть
задан произвольный элемент ср из 9И, для которого ||ср|| = 1, тогда можно
так выбрать систему ср,, ср2> ... ..., ф,, ф2, . . ., чтобы было cpj=cp,
а потому любое такое ср является собственной функцией U. Все такие ср
должны тем самым принадлежать одному и тому же собственному значению.
Действительно, если бы ср и ф принадлежали различным собственным
значениям, то
была бы собственной функцией, причем, в силу соотношений
не ортогональной ни к ср, ни к ф, а потому должна была бы при-
179) Например, благодаря
и = ^(и^п, ?п)Я[<Рп].
они должны были бы быть ортогональны. Но тогда -
У~2
также
RPMf =R^f' ' = (Л 9п) ¦ = К (/• *") • Чп
будем иметь
P^n\Rf = {Rf' ?п) ' = (/' '** = Хп (/• *я) • V
3]
ВЫВОДЫ ИЗ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
255
надлежать тому же собственному значению, которому принадлежат ср и ф, что
невозможно, поскольку последние должны были относиться к различным.
Следовательно, ?/ср = аср с одним и тем же а. Условие ||ср|| = 1 можно,
очевидно, опустить, так что для любых f из Ш будет иметь место
соотношение Uf = af. Таким образом, всегда UEg = aEg, т. е. UE = aE, но
поскольку U = UE, то U = аЕ. Далее, U, Е оба дефинитны и Ф 0. Поэтому а >
0 и, следовательно, можно положить U = Е, не изменяя его существенным
образом.
Но этот оператор U действительно решает поставленную задачу
для любого R, т. е. для любой системы ср,, ср2 ф,, ф2 если
только U0 выбрано надлежащим образом. Именно, для U0= 1 будет
2 (%, <Р") Я[,р ] =-2 (<Р". <Р") Р[9 ] = 2 Р[%] = Рт = Е = и.
п 1 п п
Тем самым устанавливается, что U - Е в смысле набросанной выше программы.
Можно определить и оператор U0, если допустить, что он универсален, т. е.
не зависит ни от Е, ни от R. Желаемое дается тогда оператором U0= 1, и
только им. Именно, мы имеем
9m- 9m) : (#Pm. 9т) = (9т' 9т) = 1 •
(^9т' 9т) = 2(^о9"' 9л)(^[Тл]9т- 9т) =
П
= 2(^о9л" 9л) I (9л* 9т)|2 = (^о9т' 9т).
П
и следовательно, (U0ym, срт)= 1. Поскольку любой ср из ЗЛ с ||ср||= 1
можно выбрать за ср,, то должно быть (U0ср, ср) = 1, а отсюда следует,
