Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
Ось времени системы К (т. е. ось t) имеет уравнение J=O или, согласно первой из формул (L),
х— vt — 0.
Следовательно, ось t располагается в системе К так же, как и в классическом случае.
179
ГЛ. III. КЛАССИЧЕСКАЯ И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
После выбора единиц длины и времени в системе К соответствующие единицы в системе К однозначно определяются преобразованиями Лоренца. Результат получается несколько более сложным. Приведем его здесь без пояснений, доказательство дадим ниже (стр. 197).
t t
Рис. 47. Единица длины = 150 000 км, единица времени = 1 сек;
с — 2, V = 1/2.
При преобразованиях Галилея единичный временной вектор для системы К (т._е. вектор, соединяющий общую начальную точку O = O обеих систем координат К и К с точкой х = 0, f=l) определяется пересечением оси Г, т. е. прямой X = Vt в системе К, с прямой t = t = 1, параллельной оси х. При преобразованиях Лоренца ось t остается такой же, как при преобразованиях Галилея, но теперь для получения единичного временного вектора ось t должна быть пересечена верхней ветвью гиперболы
— — t2 = —1 C2 1—1
(см. рис. 47).
180
§ 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА И ПОСТУЛАТ ПРИЧИННОСТИ
В классическом случае оси х и х совпадают, поэтому единичный пространственный вектор, соединяющий общую начальную точку O = O обеих систем координат К и К с точкой х = 1, ? = 0, один и тот же в обеих системах К и К. Иначе получается при преобразованиях Лоренца. Теперь конечная точка 5=1,_Г = 0 единичного пространственного вектора в системе К лежит в пересечении оси х (т. е. прямой t = vx/c2) с правой ветвью гиперболы X2 — c2t2= 1 (см. рис. 47).
§ 5. Преобразования Лоренца и постулат причинности
Займемся исследованием интервалов между событиями и пространственными и временными проекциями этих интервалов с точки зрения классической и релятивистской кинематики.
Рассмотрим два события Ei и E2 и их координаты: (*2, h) В системе К и (xi, 11), (х2, t2) В СИСТЄ-ме К. Пространственными и временными «проекциями» интервала EiE2 между событиями E1 и E2 будем называть величины
Ax = х2 — Xi, Ax = X2 — хг
и
At t2 — t\, At - — t2 — t\.
Подставим координаты рассматриваемых двух событий в формулы преобразований Галилея
x = x—vt, t = t
и вычтем полученные равенства для события E2 из соответствующих равенств для события Ei. Мы получим
Ал: —Ал: — vAt, At = At. (G")
Аналогичным образом из формул преобразований Лоренца мы найдем
Ал: —а (Ал: — v At), At = a ^At— Ax^j, (L")
где
181
ГЛ. III. КЛАССИЧЕСКАЯ И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
есть коэффициент Лоренца. Мы видим, что в обоих случаях для разностей координат получаются формулы такой же структуры, как и для самих координат.
Таким образом, при преобразованиях Галилея интервал EiE2 между двумя событиями Ei и E2 имеет одинаковые временные проекции в обеих координатных системах, т. е. At = At, что, впрочем, сразу вытекает также из предположения об абсолютном времени. Что касается пространственной проекции Ах, то при переходе к системе К она изменяется и, как показывает первая из формул (G"), становится равной Ax==Ax—vAt. В теории относительности при переходе от системы К к системе К изменяются, как показывают формулы (L"). и пространственная, и временная проекции.
Предположим, что события Ei и Eo с точки зрения системы К происходят в одном и том же месте. Следовательно, событие E1 отвечает в системе К, неподвижной точке P в момент времени t=ti, а событие E2 — той же точке P в более поздний момент времени t = t2>U. Так как точка P представляет собой «сигнал», то событие E2, согласно постулату причинности, наступает позже события EtJiO всех системах координат, в частности и в системе AT. Поэтому t2>ti, или At>0. Следовательно, на основании второй из формул (L") и с учетом того, что Ax=O, мы имеем
At = a ------Axj = a A^ > 0.
Так как Д/>0, то из этого соотношения вытекает, что коэффициент Лоренца а должен быть больше нуля. Мы видим, что сделанный на стр. 172 выбор положительного знака перед квадратным корнем, определяющим коэффициент а, представляет собой логическое следствие постулата причинности.
Из этого постулата вытекает еще одно следствие. Выше (стр. 171) мы выяснили, что формулы преобразования Лоренца (L) имеют смысл только в том случае, когда относительная скорость v систем К и К меньше скорости света. Это обстоятельство, однако, не следует вводить в качестве нового, независимого постулата.
182
§ 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА И ПОСТУЛАТ ПРИЧИННОСТИ
В самом деле, из постулата причинности следует общая теорема:
Инвариантная скорость света с является наибольшей возможной скоростью сигнала.
Доказательство. Пусть 5 есть сигнал, наблюдаемый в точке X = X1 системы К в момент времени t = = ti И проходящий через точку X = X2 в более поздний момент времени t = t2 ((2X1)- Пусть координатами этих обоих событий Eі и ?г_в системе К будут х=х\, t = ti и соответственно, X=X2, t = t.г. Так как E1-^E2, то из этого причинного отношения следует, что обе величины Д/ = = 4—ti и А г = F2—Ti положительны. Согласно второй из формул (L") мы имеем
