Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
Каждой системе значений (х, у, z, t) соответствует вполне определенная система значений (5;, у, z, г). Эю означает, что как только четыре координаты в системе К заданы, то известны также соответствующие координаты в системе К. На языке математики такая связь выражается словами: координаты в системе К являются (однозначными) функциями координат в системе К и наоборот.
158
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ
Эта зависимость записывается в виде следующей формулы: _
(л:, у, z, t)<r—+ E у, z, t).
Соответствующие одна другой системы значений
(х, у, Z1 t)<^(x, у, Z, і) (1)
представляют собой координаты одного и того же события E (или совпадающих событий) в системах К и К.
Формула (1) позволяет перейти от системы координат К к системе координат К; поэтому ее называют формулой преобразования координат.
Конкретный вид формул преобразования координат определяется, во-первых, выбором систем координат К и К и, во-вторых, взаимным движением этих систем.
Наиболее простое и в то же время важное преобразование координат получается в случае, когда системы KwK движутся одна относительно другой равномерно и прямолинейно '). Однако и при таком ограничении структура преобразования (1) зависит от упомянутого выбора координатных систем. В классической физике эта структура иная, чем в специальной теории относительности. Подробно об этом будет сказано ниже, в § 2 и 3 настоящей главы.
В дальнейшем для простоты изложения мы ограничимся рассмотрением только пространственно одномерного случая. Тогда пространством системы К будет «неизменяемая» ось Xі). Пусть в этой системе в каждой ее точке P с неизменяемой координатой х помещены «нормальные часы», с помощью которых наблюдатель В, находящийся в Р, определяет время t событий, происходящих в Р. Аналогичным образом, каждая про-
') В рассмотренном выше примере (система К связана с Землей, а система К—с Солнцем) этот простой случай не имеет места. Движение Земли относительно Солнца сопровождается довольно сложным вращением.
2) Под «неизменяемостью» оси X следует понимать только то, что она состоит из множества точек P с неизменными (не зависящими от времени) взаимными расстояниями. Если координаты точек Pt и P2 этой пространственной системы равны X1 и х2, то расстояние PlPi будет равно абсолютному значению разности Xi — х*.
159
ГЛ. III. КЛАССИЧЕСКАЯ И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
странственная точка P системы К, движущейся относительно системы К, имеет постоянную, т. е. не зависящую от времени t координату х. С помощью часов, помещенных в точке Р, находящийся_ там наблюдатель В может измерять местное время Г. Событию E в си-стеме_ К соответствуют координаты (х, t), а в системе К — координаты (J, t); следовательно, формула преобразования координат, связывающая между собой координаты события E в системах К и К, имеет вид
(л:, t). (2)
В качестве наглядного примера можно за систему К принять поезд, а за систему К — железнодорожное полотно, по которому движется поезд. Другим примером может служить река К, текущая между берегов К, И т. д.
- Pjx, t)
Рис. 44.
На рис. 44 пространственные оси К и К начерчены одна рядом с другой, хотя их можно представить_себе также наложенными одна на другую; тогда ось К будет «скользить» вдоль оси К.
Формулу преобразования (2) будем понимать теперь следующим образом. В точке Р, имеющей фиксированную пространственную координату х, находится наблюдатель В, который в момент местного времени_/ замечает, что мимо него проходит точка P системы К, имеюшая пространственную координату х; в этот момент нормальные часы Upt помещенные в точке Р, показывают время Г. Следовательно, системе значений х, t соответствует система значений х, t и наоборот, что и показывает формула (2).
160
§ 2. КЛАССИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАЛИЛЕЯ
При этом событие Е, координ_аты которого равны х, t относительно системы К и х, t относительно системы К, заключается в следующем: точки_Р и P (или находящиеся в них наблюдатели В и В) проходят «здесь и теперь» одна мимо другой, либо догоняя одна другую, либо встречаясь.
§ 2. Классические преобразования Галилея
Продолжим рассмотрение двух физических координатных систем К(х, і) и К(х, t) и соответствующей формулы преобразований координат
(х, t)<^(х, Т). (2)
При этом сначала будем исходить из представления об абсолютном времени. Это означает, что время не зависит от системы координат, относительно которой определяется время событий. Следовательно, если событие E происходит в системе_/( в точке Р(х) в момент времени t, а в системе К — в точке Р(х) в момент времени Ї, то должно иметь место равенство
A. t = t (время абсолютно).
Таким образом, в тот момент времени, когда точки Р(х) и Р(х) проходят одна мимо другой (совпадают), нормальные часы Up и Up, помещенные в этих точках, показывают в точности одно и то же время.
Напротив, пространственные координаты х и х точек PwP при их совпадении, происходящее в результате относительного движения систем К w К, не одинаковы. Связь между этими разными координатами х и х определяется формулой (2), в которой теперь следует положить t=t.
