Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
As V(IAx)2 + (Ay)2 ^/(Ах\2 , I Ay \2
At ~ At — V Uw J I M J •
Следовательно, скорость материальной частицы Al получается по «правилу Пифагора» из величин AxfAt и
P и с Зч. Рис. 39.
AyjAt, равных скоростям проекций частицы Al на оси х и у системы координат Р(х, у).
Если движение частицы M неравномерное, то ее мировая линия уже не будет прямолинейной. Теперь она «поднимается» кверху, в направлении возрастающих значений t, так, как это показано, например, на рис. 39, изображающем случай движения частицы M по окружности К, лежащей в плоскости (х, у). Мировой линией этой частицы является винтовая линия, проекция которой на плоскость (х, у) совпадает с окружностью Y. Эта винтовая линия лежит на цилиндрической поверхности с основанием У и осью, параллельной оси t.
149
ГЛ II. ВРЕМЯ
Мгновенная скорость частицы M по-прежнему определяется касательной к мировой линии.
С точки зрения физической действительности нас больше всего интересует кинематика в трехмерном евклидовом пространстве К(х, у, z). Если мы захотим применить изложенный выше способ пространственно-временного описания движений, то должны будем ввести четырех мерную пространственно-временную систему К(х, у, z, і). События E будут «точками» в этой четырехмерной системе, следовательно, будут определяться четырьмя координатами, из которых три первые (х, у, z) будут указывать место события E, а четвертая (/)—местное время события.
Этот четырехмерный мир событий не допускает естественного наглядно-геометрического представления. Тем не менее современная физика и в особенности теория относительности требуют рассматривать мир событий как четырехмерное «пространство», три измерения которого определяют местоположение события, а четвертое измерение — время события. В этом представлении нет ничего мистического. Четвертое измерение следует понимать так, как это было подробно изложено в § 12 гл. I. Мир физических событий является наиболее примечательным толкованием четырехмерной геометрии.
§ 7. Парадоксы времени
Ахиллес и черепаха
Соображения, изложенные в предыдущих параграфах, позволяют разъяснить некоторые вопросы, возникшие в связи с проблемой понятия времени. Хорошо известен парадокс греческого софиста Зенона об Ахиллесе и черепахе. Было бы неосторожно рассматривать этот парадокс только как казуистику. В нем содержится примечательная идея, и с точки зрения рассматриваемой нами темы уместно коротко на нем остановиться.
Парадокс Зенона основан на следующем мысленном эксперименте. Быстроногий Ахиллес преследует медленно ползущую черепаху. Зенон утверждает, что Ахиллес никогда не догонит черепаху.
150
§ 7. ПАРАДОКСЫ ВРЕМЕНИ
Для доказательства своего утверждения Зенон рассуждает следующим образом. Пусть Ахиллес начинает свой бег в точке Л, а черепаха в этот момент времени находится в точке Ai (рис. 40). Когда Ахиллес достигнет точки Au черепаха будет находиться в точке A3, когда же Ахиллес прибежит в точку A2, черепаха окажется уже в точке A3, и т. д. Это рассуждение можно повторить неограниченное число раз. Правда, последовательные расстояния AA1, A1A2, A2A3, ..., указывающие, насколько черепаха находится впереди Ахиллеса,
P и с. 40.
становятся все меньше и меньше, HO тем не менее чере-і паха всегда находится впереди Ахиллеса. Следовательно, заключает Зенон, Ахиллес никогда не догонит черепаху.
Легко выяснить, в чем заключается ошибочность заключения Зенона. Пусть расстояние AA1 равно, например, 100 метрам, а скорости Ахиллеса и черепахи пусть равны соответственно 10 и 1 м/сек'). Тогда Ахиллес через 10 секунд достигнет точки A1-B течение этого промежутка времени черепаха проползет путь A1A2= = 10 м. Еще через одну секунду Ахиллес будет в точке A2, а черепаха — в точке A3, причем отрезок A2A3 будет равен 1 м. Полное время, необходимое Ахиллесу для достижения точки A2, а черепахе для достижения точки A3, равно 11 секундам. Аналогичным образом мы увидим, что через 11,1 секунды Ахиллес будет в точке A3, а черепаха — в точке A4, причем расстояние A3Zi4 составит 0,1 м= 1 дм, и т. д.
Расстояние AAn Ахиллес пробежит в течение In = = 11,1... 1 секунд; число единиц в этой десятичной дроби равно п. За этот промежуток времени черепаха достигнет точки An+i. Длина отрезка AAn равна 111,1 ... 1 метров, причем в этой десятичной дроби число единиц
') При построении рис. 40 для наглядности принято, что скорость Ахиллеса больше скорости черепахи только в два раза.
151
ГЛ. II. ВРЕМЯ
опять"равно п. При увеличении п (п = 1, 2, 3, ...) расстояние AAn возрастает, однако, не неограниченно: оно приближается к предельному отрезку AB, длина которого выражается периодической бесконечной десятичной дробью 111,11 ... или, в виде простой дроби
1000 1 , ,,,
-g-= 1П7э метра.
Соответственно растут и промежутки времени tu /2,
. .., tn, но и они приближаются к конечному предельному значению
11,11 ... = = IlV9 секунды.
Отсюда следует, что через 11 */э сек происходит то, чего и надо было ожидать: Ахиллес догоняет черепаху, а именно в точке В, расстояние которой от точки А равно AB- 111 ‘/в .?.
