Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
В системе координат (х, t) этому движению соответствует парабола (рис. 37), определяемая уравнением (3) (подчеркнем, что движение происходит в направлении оси х). Движение камня неравномерное, его скорость изменяется с течением времени. Вследствие неравномерности скорости мировая линия рассматриваемого события (парабола) не прямолинейна.
Рис. 37.
(3)
146
§ 6 ПОКОП И ДВИЖЕНИЕ
Рассмотрим теперь криволинейную мировую линию тела М, изображенную на рис. 34. Пусть в момент времени t=tі тело M находится в точке X = X1 (событие E1), а в момент времени t = t2 (>ti) —в точке х = х2 (событие E2). Следовательно, за промежуток времени At= = ?2—ti тело M прошло путь Ax = X2—Xi1). Отношение Ах/Аt определяет среднюю скорость движения в промежутке времени At. Если промежуток At уменьшается, то изменяется путь Ах, а также средняя скорость AxjAt. В случае прямолинейной мировой линии, другими словами для равномерного движения, средняя скорость совпадает с «мгновенной скоростью».
Средняя скорость определяется обратным значением подъема отрезка EiE2. Если t2 приближается к значению ^1, следовательно, точка E2 приближается к точке Eі, то отрезок E1E2 (хорда или секущая мировой линии) поворачивается вокруг точки E1 и в момент времени <2=^1 переходит в касательную к мировой линии в точке Eі(jci, ti). Таким образом, обратное значение подъема касательной к мировой линии равно мгновенной скорости движения2).
!) Предполагается, что между моментами 11 и t2 тело Al двигается но прямой в одном (и притом положительном) направлении, т. е. ЧТО *2>*1- — Прим. ред.
2) Для читателя, знакомого с дифференциальным исчислением, этот результат можно выразить короче: мгновенная скорость точки M в момент времени t равна производной dx/dt от пути x—x(i) по времени t. При бросании камня вертикально вверх его движение определяется уравнением (3). Составив производную dx/dt, мы получим для скорости значение и — gt. В этом можно убедиться также элементарным путем. В самом деле, при рассматриваемом движении, происходящем под действием направленной вдоль оси х силы притяжения Земли, ускорение (приращение скорости в одну секунду) равно — g; следовательно, начальная скорость, равная й, в течение t секунд уменьшается на gt, т. е. через t секунд она становится равной и — gt.
Предлагаем читателю вычислить также среднюю скорость Дх/Дt. Она получается из уравнения (3) элементарным путем, без применения дифференциального исчисления. Выполнив вычисления, читатель получит значение ы — g(ti + h)/2.
При приближении Ii к получается предельное значение и — gti (мгновенная скорость в момент времени t=tі).
147
ГЛ. И. ВРЕМЯ
Этот вывод также наглядно очевиден. Для очень короткого промежутка времени (іі, t2) мировая линия почти совпадает со своей касательной в точке (хи Ii). Следовательно, если для такого небольшого промежутка времени мы заменим мировую линию только что указанной касательной мировой прямой, то скорость в течение этого промежутка времени будет постоянной, а движение равномерным. Тогда скорость Лх/Лt будет равна обратному значению подъема касательной и будет совпадать с мгновенной скоростью в момент времени t = ti.
До сих пор мы рассматривали для простоты только движения в одномерном пространстве. Перейдем теперь к евклидову двумерному пространству. Точки этого пространства будут определяться двумя координатами х, у относительно двумерной системы координат К (х, у). Если в каждой фиксированной точке Р(х, у) системы К будут помещены «нормальные часы» для измерения местного времени t в Р, то система К превратится в пространственно-временную систему К(х, у, І).
Для того чтобы изобразить событие (мировую точку) Е(х, у, t) геометрически, поступим так же, как было сделано выше. В начальной точке х=у = 0 евклидовой плоскости (х, у) проведем ось времени t, направив ее под прямым (или каким-нибудь другим) углом к плоскости (х, у). Три оси х, у, t определяют трехмерную систему координат К(х, у, t). Каждому событию Е, происходящему в точке (х, у), соответствует в этой трехмерной системе точка Е(х, у, t) (рис. 38). Координаты х, у определяют то место Р, в котором в момент местного времени / (в Р) происходит событие Е.
Мировыми линиями событий, происходящих в одном и том же месте, по-прежнему являются прямые, параллельные оси времени. Одновременные [относительно системы отсчета К(х, у, /)] события E лежат в плоскостях, параллельных плоскости (х, у).
Мировые линии равномерно движущейся материальной частицы M по-прежнему прямые. Скорость материальной частицы M определяется, как это легко видеть из рис. 38, следующим образом. Пусть Ei(xlt уи tt) и Еї(хг, у2, U) суть две точки рассматриваемой мировой
148
§ 6. ПОКОЙ И ДВИЖЕНИЕ
линии. Проекциями «мирового отрезка» EiE2 на оси координат будут
Ax = X2-X1, Ay = Iji- yv At = t2 — tl (Z1 < Z2)-
Пространственное расстояние As между событиями Ei и E2, согласно теореме Пифагора, будет равно
As = + (АУ)2-
Абсолютное значение скорости равно частному от деления пути As на время At, т. е.
