Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Несис Е.И. -> "Методы математической физики" -> 55

Методы математической физики - Несис Е.И.

Несис Е.И. Методы математической физики — М.: Просвещение, 1977. — 199 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatematfifiki1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 >> Следующая

матрицы UU+ = J сводится к условию ортогональности
АА=1, (15)
или (что совершенно эквивалентно)
А~1 = А. (15')
Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей
матриц-сомножителей, то из (15) следует, что у ортогональной матрицы
(det/4)2=l, или det/4=±l.

Ортогональные преобразования А, определитель которых равен +1, называются
собственными, а те, у которых det Л = -1-несобственными.
Рассмотрим сначала ортогональное преобразование А
в одномерном пространстве, порожденном некоторым -> ->
вектором е. Ясно, что е является собственным вектором
/Ч /Ч-> ->
оператора А. Поэтому Ае = 'ке.
С другой стороны, по условию ортогональности
(Ае, Ае) = (е, е).
Следовательно,
X2 (е, е) = (е, е),
откуда X - ± 1.
Итак, в одномерном пространстве существует лишь
два ортогональных оператора: собственный Ахх-х и не-
собственный А2 х = - х.
Перейдем теперь к рассмотрению двумерного пространства с
ортонормированным базисом ех и е2. Пусть орто-
/V
тональный оператор А в этом базисе имеет матрицу
II а b = ||с d причем det A- ad-bc= 1.
196
Поскольку А-ортогональный оператор, то обратная матрица Л-1 равна
транспонированной Л:
1а. с II > d '
л-
непосредственно и
Определяя же обратную матрицу Л-1 учитывая, что det Л = 1, получаем:
-*--1 ¦" "'I-
II - с а II
Приравнивая правые части этих равенств, приходим к выводу, что a = d и Ь
= - с. Поэтому матрица Л имеет вид:
|| а -Ь ||
Л = \\и
II b а I
и det Л = а2 + b2 = 1. Заметим, что собственные числа здесь мнимы и
матрицу нельзя привести к диагональному виду. Вводя обозначения a =
coscp, b = sincp, убеждаемся
/V
в том, что всякий собственный ортогональный оператор Л в двумерном
пространстве имеет в ортогональном базисе матрицу вида:
cos ф -sincplj sin ф cos ф I
Геометрически это соответствует повороту плоскости как целое на угол ф.
Если же ортогональный оператор Л несобственный, т. е. det Л = ad-bc= - 1,
то характеристическое уравнение Я2-(a + d) Я-1=0 имеет действительные
корни
± 1 и, следовательно, два взаимно перпендикулярных
->
.собственных вектора ег и е2. Тогда матрица А может иметь только один из
двух видов:
1 0 II- 1 0
0 или
- 1 II 0 1
Геометрически это означает зеркальное отражение относительно одной из
осей координат.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предмет математической физики................................ 3
Часть первая.
математическая теория поля
Глава I. Скалярные, векторные и тензорные поля на плоскости 6
§ 1. Скалярное поле и векторное поле его градиента................-
§ 2. Аналитическое определение понятия вектора...................13
§ 3. Векторные поля и их дифференциальная характеристика . . 16
§ 4. Тензоры и их свойства ..................................... 18
§ 5. Тензорная алгебра...........................................23
§ 6. Тензор как аффинор..........................................26
§ 7. Главные направления тензора................._...............28
§ 8. Тензорный эллипс............................'...............32
Глава II. Ортогональные векторы и тензоры в трехмерном и
многомерном евклидовых пространствах. Векторный анализ 34
§ 1. Векторы и тензоры в л-мерном пространстве..........-
§ 2. Тензор деформации.................................37
§ 3. Тензор напряжений.................................41
§ 4. Тензор инерции....................................43
§ 5. Скалярный и векторный инварианты тензора-производной
векторного поля.....................................49
§ 6. Физический и аналитический смысл дивергенции векторного поля
51
§ 7. Физический и аналитический смысл ротора векторного поля 56
§ 8. Оператор Гамильтона ("Набла"-исчисление).......... 61
§ 9. Формула Грина......................................: . .
. 65
§ 10. Классификация векторных полей.......................66
§ 11. Физические векторные и тензорные поля в четырехмерном
пространстве-времени..................................69
Глава III. Теория поля в криволинейных системах координат 74
§ 1. Криволинейные координаты.....................................-
§ 2. Коэффициенты Лямэ...........................................77
§ 3. Основные дифференциальные операции в криволинейных
координатах.................................................81
Часть вторая
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Глава I. Вывод основных дифференциальных уравнений математической физики.
Общий интеграл этих уравнений .... 87
§ 1. Поперечные колебания струны. Волновое уравнение ... -
§ 2. Уравнение теплопроводности..................................90
§ 3. Основное уравнение электростатики...........................95
§ 4. Уравнение переменного электромагнитного поля в потенциалах
........................................................96
§ 5. Уравнение Шредингера........................................99
§ 6. Понятие об общем интеграле уравнения в частных производных
....................................................100
§ 7. Колебания бесконечной струны...............................105
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed