Плутоний Фундаментальные проблемы Том 1 - Надыкто Б.А.
ISBN 5-9515-00-24-9
Скачать (прямая ссылка):
В случае реального твердого вещества график четырехмерный, при этом три измерения относятся к направлениям волнового вектора и одно измерение - к частоте. Конечная точка на графике в любом направлении определяется конкретной симметрией кристалла. Кроме того, в каждом направлении имеется по три ветви - две для сдвиговых волн и одна для продольной волны (см. рис. 5). Скорости поперечных волн обычно составляют около двух третей скорости продольной волны. В случае плутония и металлов с оцк решеткой скорости некоторых сдвиговых волн намного меньше. Следовательно сдвиговые моды имеют более низкие частоты колебаний и, как мы это увидим в дальнейшем, они дают больший вклад в энтропию. Заметим, что в реальном твердом теле упругая постоянная с превращается в тензор четвертого ранга для модулей упругости с 21 независимым элементом. Ho поскольку большинство
доступных в настоящее время плутониевых образцов являются изотропными поликристаллическими образцами, большая часть информации, относящейся к направлениям в кристалле, теряется и можно измерять только два модуля упругости: модуль сжатия с^ и модуль сдвига с44. Вообще, всякая упругая постоянная представляет собой отношение определенного напряжения к определенной деформации.
Интересно, что если бы нам были известны все скорости звука (или модули упругости), то у нас получился бы полный четырехмерный график колебательных мод (кривая дисперсии фононов), поскольку ожидается, что зависимость от частоты всегда близка к зависимости, задаваемой уравнением (156), или к одной из ее аналогов для следующего ближайшего соседа. Даже в системах с силами более чем ближайших соседей общие формы кривых дисперсии строго ограниченны, причем для их описания требуется лишь несколько параметров.
Если частота осциллятора известна, то его энтропию очень легко вычислить непосредственно из функции распределения - уравнения (10). Ранее мы отмечали, что уровни энергии каждого гармонического осциллятора или нормальной колебательной моды і равноудалены, то есть Ei = (п+^I^hwi. Среднее число квантов (фононов), термически заселяющих эту моду, может быть выражено в виде
/ , 1 \ PlCOi
I V >+2%
У Xі
1 W=O
H(H)i
(16а)
- 1
где мы использовали функцию распределения для вычисления ожидаемого значения числа фононов в этой моде. Заметим, что если температура (или квТ) высока относительно энергии каждого фонона, то имеется простое выражение для среднего числа фононов в этой моде:
к?_
для к^Т » Hcoi
(166)
218
Los Alamos Science Number 26 2000
Упругость, энтропия и фазовая устойчивость плутония
O^wetfTліт кубмчкхсгоісрістатй.
- п/сггссть фісШгії)
Рис. 5. Колебательные моды и скорости звука в кубическом кристалле
Имеется три вида звуковых волн. Одна - продольная волна, в которой атомы колеблются (красная стрелка) в направлении распространения (черная стрелка), и две - сдвиговые, в которых атомы колеблются перпендикулярно к направлению распространения. В кубическом кристалле эти волны связаны с тремя независимыми модулями упругости - C11, C12 и с44. Как показано на рисунке, C11 определяет скорость продольной волны, с44-скорость первой СДВИГОВОЙ ВОЛНЫ И C11 И C12 - скорость второй сдвиговой волны
На основе результата для среднего числа заполнения моды і можно получить выражения для средней энергии в этой моде Ei и свободной энергии Ff
Еі=Нщ(пі+\)^квТ, (17)
Fi = —квТ In Z , (18)
где
Hcoi _ Hcoi
2kJ IkJ е в —е в
Вклад энтропии в свободную энергию для одной моды TSi определяется как
TSi = Ei-Fi . (19а)
Если температура относительно высока, то есть к^Т намного больше энергии на фонон, то вклад энтропии в (19а) принимает вид
TSi ~ квТ (1 + In п.) . (196)
Мы хотим знать энтропию колебаний всей системы, а поэтому нам нужно найти среднее значение по всем модам
і в In щ или при относительно высоких температурах среднее значение 1п(/гоо-). Дебаевская температура, или, точнее, /:B@D, - специальное среднее значение H(X)i, а не среднее значение 1п(/гоо-). Лучшее значение характеристической температуры в пределе высокой температуры можно найти, взяв среднее значение по уравнению (196) для всех мод на всех дисперсионных кривых на четырехмерном графике. Если определить эту температуру в пределе высоких температур как 0q, то общий вклад колебаний в член энтропии в свободной энергии будет
TS ~ 3NkBT (l + In (-^)) . (20)
Имея уравнение (20), мы получили описание полной энтропии колебаний твердого тела из N атомов и показали, что его можно вычислить из результатов измерений скорости звука на всех длинах волн и во всех направлениях. Кроме того, результаты измерений скоростей звука можно сравнить с результатами вычислений непосредственно по теоретическим моделям энер-
гии плутония. Поэтому скорости звука или, что эквивалентно, модули упругости важны для определения вкладов как энтропии, так и энергии в свободную энергию. Именно по этой причине измерения тензора модуля упругости, зависящего от вида деформации и ее направления, дают намного больше информации теоретику, чем простые скалярные термодинамические измерения таких величин, как теплоемкость или модуль объемного сжатия. Удивительно, но для плутония известны лишь несколько значений скоростей звука, да и эти значения - главным образом средние значения, полученные в результате измерений на поликристаллических образцах. В настоящее время имеются данные лишь одного измерения полного тензора модуля упругости на стабилизированном галлием монокристалле 6-плутония, проведенного при нормальной температуре.
