Плутоний Фундаментальные проблемы Том 1 - Надыкто Б.А.
ISBN 5-9515-00-24-9
Скачать (прямая ссылка):
I I
I I
Рис. 3. Силы упругости в гармонической картине твердого вещества
В гармонической картине твердое тело в виде очень длинной цепочки атомов, связанных химическими связями и расположенных на расстоянии а0, где а0 - параметр решетки, или межатомное расстояние, представляется как очень длинная цепочка масс т, соединенных пружинами. Сопротивление этих пружин измеряется упругой постоянной с. Расстояние Uj - смещение каждой массы от положения ее покоя Xj, а уравнение (14) в тексте описывает силы упругости, возникающие в результате смещений, растягивающих и сжимающих пружины. Волноподобные решения уравнения (14) описывают продольные звуковые волны, которые будут распространяться в этом идеализированном гармоническом твердом веществе
ных нормальных мод частота / равна /= nvs/(2L). В этом выражении Vs - скорость звука (при сжатии или различных видах сдвига) и п - целое число, меньшее, чем примерно 3, приблизительно равное числу атомов вдоль ряда по длине L бруса. Из всего вышесказанного очевидно, что скорости звука определяют низкие частоты колебаний в плутонии.
Для расчета вклада колебаний в энтропию при температурах около 300 К нам нужно найти все колебательные моды, даже те моды с более высокими частотами, длины волн которых сравнимы с межатомными расстояниями. В принципе их можно измерить путем измерения рассеяния нейтронов (такие измерения довольно неточные и производить их очень трудно), однако можно получить очень хорошие приближенные оценки, если известны с большой точностью скорости звука, и еще лучшие приближенные оценки, если можно использовать данные по скорости звука, чтобы ограничить приближенные данные, полученные методами рассеяния нейтронов. Ультразвуковыми методиками, даже теми, которые используем мы, скорости звука определяются только на очень больших длинах волн, но, поскольку мы измеряем моды с большими длинами волн, можно получить достаточно хорошую оценку изменения частоты в зависимости от длины волны на основе гармонической картины твердого вещества.
Представим себе очень длинную цепочку масс (атомов) N, каждая из которых находится на расстоянии а от своих ближайших соседей и связана с этими соседями пружинами (связями), как показано на рис. 3. Рассматривая одну из масс в позиции и-, мы находим, что при растягивании пружин влево и вправо от этой массы создается ускорение (известный закон Ньютона F = та), так что
т
т2
a Uj dt2
= -с (uf - Uf_ij + с (ui+i - Uij. (14)
Решив уравнение (14), мы найдем соотношение между допустимыми длинами волн и частотами колебаний. Для каждого допустимого волнового вектора к = 2jt/X существует решение с угловой частотой со = 2тс/
/ Ч i(Jcx--CQt)
Щ{Ч = Щое >
(15а)
где соотношение между к и со (также называемое дисперсионным соотношением) определяется как
12с
¦ sin ка
(156)
Самая короткая длина волны X должна быть больше двойного межатомного расстояния, или 2а^ (если бы она была короче, то можно было бы описывать волну так, как если бы она имела большую длину, и получать те же самые движения), и общее число по-
Number 26 2000 Los Alamos Science
217
Упругость, энтропия и фазовая устойчивость плутония
У
Силы 6ju!*ai« имх ссг еда
С СЛршДТЕЛЫЪЫН СШйМ4 B-TCfbCC rt* бмЭссты соседа
дЛо
бстсс-см сектор ft {А"1)
Рис. 4. Колебательные моды в зависимости от волнового вектора
Черная кривая - график уравнения (156) для дисперсионного соотношения (или зависимости частоты от волнового вектора) для продольной скорости звука в уравнении (14). Это уравнение описывает силы (пружины), действующие только между ближайшими соседями. Наклон этой кривой при к = O5 отмеченный прямой касательной, представляет скорость звука vs = а0(2с/т)1/2. Показаны также кривые дисперсии для систем, у которых имеются положительные или отрицательные силы вторых по близости соседей (помимо сил ближайших соседей)
ловинных длин волн должно умещаться на цепочке, пк/2 = L. Иными словами, к = пк/Nciq и самым большим значением к является jt/<2q. Следовательно, имеется дискретный набор допустимых волновых векторов и частоты, определяемые уравнением (156), определяют дискретную систему колебательных мод.
График этих дискретных колебательных мод в зависимости от волнового вектора, приведенный на рис. 4, имеет вид непрерывной линии, поскольку число мод очень большое. Наклон этой линии, который является наклоном кривой в начале координат, обычно представляет скорость звука и определяется как dw/dk = Vs = а^(2с/т)112, где с - упругая постоянная, входящая в уравнение (14). Следует заметить, что эта простая картина относится только к пружинам ближайших соседей. Из рисунка видно и то, что для вторых по близости соседей все обстоит иначе, но кривые все же строго ограничены. Результаты наших измерений скоростей звука (или упругих постоянных) находятся практически на расстоянии в пределах лишь нескольких частей на миллион от нуля на рис. 4.
Уплощение кривой при больших волновых векторах (коротких волнах) связано с тем, что система все-таки дискретна, а не непрерывна.
