Плутоний Фундаментальные проблемы Том 1 - Надыкто Б.А.
ISBN 5-9515-00-24-9
Скачать (прямая ссылка):
вероятности 70/256. Вообще, мы видим, что число состояний Q (ті) системы из N объектов, п из которых - одного равновероятного типа и N-n - другого равновероятного типа, для которых конкретное размещение п объектов значения не имеет, равно
Q(W) =
NI
n\(N — n)\
(1)
Вспомнив биномиальное разложение, можно также получить, что
(«a + b)N = aN + NaN lb +
| N{N-\)aN~2b2 |
2!
Д a^-mhmN\ (2)
'ІЗ m\(N — m)\
Если a = b = I, to
N NI
(l + l)" = 2w = X
(3)
что является точно суммой всех состояний. В нашем примере на рис. 1 нам было известно, что эта сумма составляет 256, то есть равна значению, которое мы получили, зная, что у каждого объекта имеется два возможных состояния и что имеется 8 объектов.
Эффект больших чисел. Если вместо 8 случайных вариантов мы возьмем N = IO22 вариантов, которое равно числу атомов в небольшом объеме вещества, то будет 21°22 различимых состояний. Самым вероятным результатом является равное число орлов и решек. Если вычислить вероятность получения равных количеств орлов и решек и обозначить ее через P, то какой результат имеет вероятность /72? Используя уравнение (3), мы находим, что у нас получается примерно на IO11 больше орлов, чем решек (или наоборот), с вероятностью /72. Иными словами, при IO22 подбрасываниях будет вполне вероятным получить на IO11 больше орлов, чем решек, - ошибка при получении точно равных количеств орлов и решек составляет лишь одну сто миллиардную часть от общего числа подбрасываний (то есть около 1 /ЛА/2 от общего числа).
Нам также известно, что имеется лишь одно состояние, при котором мы получаем ю22 орлов, вероятность которого далека от максимальной. Следовательно, ширина пика распределения вероятностей составляет ЛА/2, и за пределами этого пика немного чего остается. Из всего этого мы узнаем, что по мере того, как числа становятся большими, пик становится чрезвычайно узким и вся практически полезная информация находится в пике. Впоследствии окажется, что реальный пик можно очень точно аппроксимировать распределением в форме очень вытянутого по высоте прямоугольника с постоянной вероятностью по ширине пика и нулевой вероятностью в остальных местах. Эти утверждения приводят к некоторым важным правилам для систем (видимых частей вещества), у которых число одинаковых частиц - порядка числа Авога-дро (6,02 • IO23).
Первое правило для этих макроскопических систем заключается в том, что мы можем считать все числа очень большими. По этой причине аппроксимации, которые могут казаться весьма неточными, на самом деле будут почти точными. Погрешности будут либо порядка корня квадратного из большого числа (например, корень квадратный из IO22 равен IOu - числу, намного меньшему, чем исходное), либо порядка логарифма от большого числа (например, 1п(1022) = 51, что очень мало по сравнению с IO22).
Следующее правило - это то, что любое достижимое состояние системы равновероятно, но нам видны только самые вероятные состояния. Достижимые состояния - это состояния, которые не нарушают какие-либо ограничения, такие как фиксированный объем, или физические законы, такие как сохранение энергии, импульса или заряда. Co временем система, состоящая из большого числа объектов с “разумно большой” общей энергией (мы пока воздержимся от определения термина “разумно большая”), проходит все возможные организации этих объектов (каждая организация - это состояние) вблизи данной энергии.1 То есть если
1 Однако существуют системы, в которых эта
гипотеза эргодичности нарушается.
212
Los Alamos Science Number 26 2000
Упругость, энтропия и фазовая устойчивость плутония
Число способов получения этого числа орлов
Рис. 1. Число орлов в зависимости от способов получения этого числа
Ha данном графике показано число состояний системы из 8 монет, где единственной представляющей интерес величиной является число орлов. То есть данные 8 монет неразличимы, и порядок, при котором получается данное число орлов, значения не имеет. Если проследить, при каком метании получается какое значение, общее число различимых состояний равно 256, в самом вероятном состоянии имеется 4 орла (и 4 решки), общее число способов достижения этого состояния равно 70 и, следовательно, вероятность этого состояния равна 70/256
бы нам нужно было делать достаточно часто фотоснимки системы, то каждый снимок представлял бы собой достижимое состояние. Точнее говоря, мы берем стопку монет, сбрасываем их на пол, подсчитываем число выпавших орлов и затем повторяем процедуру. Ho в нашей стопке - ю22 монет, а эксперимент мы проводим со скоростью, скажем, IO11 действий в секунду (то есть примерно такое число действий в секунду, сколько раз молекула газа сталкивается с другой молекулой газа). Поскольку каждое состояние равновозможно, нам видны лишь несколько примерно из 210 всех возможных состояний. Будем говорить, что вселенная будет существовать IO110 секунд. Тогда за время существования вселенной мы проведем этот эксперимент IO121 = 2402 раз. Если эксперимент на самом деле проводится на контейнере с газом, а не на стопке монет, то одним из возможных наблюдаемых объектов, который будет использоваться вместо совокупности орлов, является доля молекул газа, скажем, в левой половине контейнера. Вероятность того, что любой атом газа будет в левой половине, равна V2- Вероятность того, что все они находятся в левой половине, равна
