Экспериментальная ядерная физика - Мухин К.Н.
ISBN 5-283-04076-3
Скачать (прямая ссылка):
Это вполне естественно, так как нуклоны в дейтроне большую часть времени проводят вне потенциальной ямы. Такое заключение следует из сравнения энергии связи A W и числа парных связей N=A{A —1)/2 между нуклонами для легких ядер 2Н, 3Не и 4 Не (табл. 34). Видно, что с ростом числа связей AW/N быстро растет, т. е. каждая связь работает все более интенсивно. Единственное возможное истолкование этого результата заключается в том, что потенциал имеет малый радиус и что нуклоны в дейтроне значительную часть времени находятся за его пределами (размытая волновая функция). В более тяжелых ядрах 3 Не и 4 Не нуклоны большую часть времени находятся в пределах потенциальной ямы (более локализованная волновая функция). Уменьшение &W/N при А>4 связано с проявлением эффекта насыщения, который иллюстрируется примерным постоянством &W/A для ядер с А^4.
В связи со слабой зависимостью результата от формы потенциальной ямы ниже будет рассмотрено решение уравнения
§ 82. Элементарная теория дейтрона
21
Таблица 34
Величина
2Н
3Не
4Не
6 Li
9 Be
12С
i60
А
2
3
4
6
9
12
16
МэВ
2,2
8,5
28
32
58,2
92,2
128
N
1
3
6
15
36
66
120
Д WJN, МэВ
2,2
~3
4,6
~2
1,6
1,4
~1
Д W/A, МэВ
1,1
~3
7
5,3
6,5
7,7
8
(82.13) только для простейшего потенциала типа прямоугольной ямы. В этом случае
W [0 для r>a, E=-AW К }
и уравнение (82.14) разбивается на два:
d^+2^[Vo-AW]u(r) = 0 (82.15)
для г^а и
d^-f2AWu(r) = 0 (82.16)
для г>а. Решением уравнения (82.15) является функция
u(r) = A sinxr+ficosxr, (82.17)
где у. = у/2ц(У0 — A W)/h; г^а. Легко видеть, что 5=0, так как функция \|/(г) = и(г)/г должна быть ограниченной при г->0. Решением уравнения (82.16) является функция
u(r) = Ce-"'r + Deyr, (82.18)
где у = y/l\iAWjft; г>а. Здесь также коэффициент при втором слагаемом равен нулю (D = 0), так как в противном случае ф(г) будет расходиться при г->оо. Итак,
u(r) = A sin иг при г^а (82.19)
и
и(г) = Се~" при г>д, (82.20)
где х = yfi\i(V0-AW)/h; y^j2\aAWIh (берем х>0 и у>0). Найдем связь между параметрами ямы a, V0 и A W.
Вначале рассмотрим случай A W= 0, т. е. найдем условие существования связанного состояния в яме. Для этого вычислим
22 Глава XIV. Нуклон-нуклонные взаимодействия при низких энергиях
значение функции и '/и в точке г=а из обоих решений (82.19) и (82.20) и приравняем их друг другу:
kcfgxe= — у. (82.21)
Подставив в (82.21) значения к и у, получим трансцендентное уравнение вида
ctg х а = - VA W/(V0-A W), (82.22)
решением которого при A JV= 0 является
х = тс/(2й). (82.23)
Но согласно (82.17) при AW=0 х = х/2ц К"0/#- Приравнивая это значение п/2а, получаем условие существования уровня с A W= 0 в прямоугольной яме
V0a2 = n2ft2j(8\i). (82.24)
Подставив в (82.24) числовые значения л, h и ц, получим
V0a2^\,02-\Q-24 МэВ-см2. (82.25)
Условия (82.24) и (82.25) определяют минимальную глубину V0 (МэВ) прямоугольной потенциальной ямы (с шириной а, см), которая необходима для того, чтобы в ней могло существовать связанное состояние:
n2h2 ИГ2* 8ца2
Из (82.26) следует, что при a = "Kn — hl(mnc) = 1,4-10~13 см Fo"*H = 50 МэВ, а при a = b = */VJA = 2-\0~13 см (среднее расстояние между нуклонами в ядре) К"оин = 25 МэВ.
Рассмотрим теперь случай AW^O. Из (82.22) следует, что при AW>0 ctgxa<0 и ха>тс/2, т.е.
гГл = ъ—2*—-• (82.26)
VJti°_J> (82.27)
п 2а
или
~8ца2
Глубина ямы V0 растет быстрее энергии связи A W:
У0~У?>яа>АП'. (82.29)
Связь между У0 и A W можно получить, решив трансцендентное уравнение (82.22).
К0 - A W> -67Г-1 = • (82.28)
§ 82. Элементарная теория дейтрона
23
-2SM3&
тт—Г Т"ТТ—Г"
- 2,22 МЭВ
2tpM
-50
-60
О
1я/г г з fsitfis
х
1,4- <рм
Рис. 307
Рис. 308
Для этого умножим уравнение (82.21) на а и введем обозначения
где R— радиус окружности на плоскости х, у. Решением является пересечение обеих кривых в первом квадранте (так как х>0, ^>0). Очевидно, что при R<n/2 совместного решения нет (штриховые линии на рис. 307); при R = nj2 обе кривые пересекаются в точке х=п/2, у=0, что соответствует AW—0 (появление связанного состояния); при R>k/2 точка пересечения кривых расположена при у>0. Для заданных а и A W она находится на пересечении прямой y=ya = y/2[iAWa/h=const с линией у = —xctgx. Радиус окружности, проходящей через точку пересечения, определяет глубину потенциальной ямы У0 = п Л2/(2ца2). Очевидно, что столь же просто можно найти а по У0 и A W или A W по а и У0.
На рис. 308 изображены результаты решения уравнения для а = 2 фм и а= 1,4 фм при двух значениях A W (0 и 2,22 МэВ). Из рисунка видно, что даже такой сравнительно неглубокий уровень, как ?=—2,22 МэВ, может существовать в потенциальной яме, только если ее глубина на 10 МэВ превосходит минимальную.
2. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И РАДИУС ДЕЙТРОНА
Вернемся к вопросу о виде волновой функции дейтрона. Выше было показано, что решение уравнения Шредингера для прямоугольной ямы шириной а и глубиной У0 изображается формулами (82.19) и (82.20):
