КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
Следующая лемма дает оценку для решения уравнения (14). Будем считать,
что и задана, a w неизвестна.
Лемма 8. Положим, что и(6) удовлетворяет
(и, и+) G при |1т0| < г, (16)
U
\ug\T < N, \щ1\г < N при \1тв\ < г. (17)
1
Тогда (14) имеет единственное решение w € Wp, с Wo = J wdd = О
о
при любом 0 < р < г, и поправка v = ugw удовлетворяет оценкам
МР ^ ^г _С^2т1Д(М)1г' МР ^ (г _р)2г-ц1Д(М)1г' (18)
где с = с{М, N, К, а) и т = 2 + а.
Мы докажем эту лемму двукратным применением более простой леммы:
318 Лагранжево доказательство теоремы об инвариантной кривой
Лемма 9 (Уменьшение области аналитичности). Пусть и> удовлетворяет
условию диофантовости (9), и пусть g € Wr имеет нулевое среднее значение
[g\ = 0. Тогда уравнение
V^=g, (19)
имеет единственное решение ф 6 Wr> с [ф] = 0 при любом 0 < г' < г. Кроме
того,
\ф\г, <с{К,а)-Щ-. (20)
(г - г )
Доказательство леммы 9.
Коэффициенты Фурье величин g и ф связаны соотношениями
^ = e2,inl _ г + 0' ^ = °' (21)
Условие диофантовости (9) дает нижнюю границу на знаменатели:
|е27Г^-1|>пт2ы (22)
\п\ ^
в то время как g Е Wr означает, что
\gn\ ф \g\re-2*Wr. (23)
Используя (23) и (22) в (21), получаем при 0 < г' < s < г:
|фп\ "С \g\rc~1{K)e~2'Kr'{n'{\n\1+(T =
= |g'|J.c"1(^)e"27rslnle"27r(r"s)l(tm)l|n|1+'T. (24)
Оценим правую часть, используя оценку же х ф е при положительных ж,
которая при ж = дает неравенство е~а^\п\ь ф е~ь(Ь/а)ь для всех п; при а =
2тг(г - s) и b = 1 + а получаем
1_
(г - s)1
\фп\ "С сфК, a)\g\r7-^-e-^s.
§5. Решение гомологического уравнения Из этой оценки для фп будем иметь
319
\Ф\т' ^?h/vleW27rr' ^
< 2ci|g~|r / _
-2тг(*-г')'\ 1 < _
2ci|g|r
^ (г - s)1+,T ' ' ^ (г - s)1+,T(s - г') '
что при s = -дает1 требуемую оценку (20) для ф. Это завершает
доказательство леммы 9.
Доказательство Доказательство леммы 8.
Вводя сокращения (h^ueu^)-1 = р и -ивЕ(и) = g, перепишем (14) в виде
системы:
[ v*i> = g
\ _1 (25)
[ р Vw = ф + ц,
где /л - константа, которую необходимо подобрать. По лемме 9 (напомним,
что среднее значение [g] = 0, в соответствии с (4)) получаем единственную
функцию ф с нулевым средним, удовлетворяющее условию (20):
\ф\г' ^ Y^~7^\g\r (26)
(г - г)
при любом 0 < г' < г. Теперь определим w из второго уравнения
системы (25): Vw = р(ф + /л). Поскольку левая часть имеет
нулевое среднее
значение, необходимо, чтобы и правая часть удовлетворяла этому условию:
_ _[рфМ_ jpde
\g\
Из приведенных оценок на hi2 и ив получаем \/л\ < kMN4c-- .
(г - г у
Теперь можно заключить, что существует единственное решение w,
1Ea последнем шаге было использовано неравенство (1-е 27rq) х<д 0<д<^.
320 Лагранжево доказательство теоремы об инвариантной кривой
удовлетворяющее соотношениям
\р(ф + ц)\Т' С2 , ,
Нр ^ ci (г'- р)Т ^ (г'- р)Т(г - г'У
здесь во втором неравенстве были использованы (26) и (27). Полагая г' =
(г + р)/2 и учитывая, что \щ\ < N, получим:
Ир ^ 7-С^~т^\Е{и)\г, сз = сз(М, N, К, к, а). (28)
(г - Рут
Используя снова \ие\ ^ N, получаем первую оценку в (18). Используя
I 'О I г
оценку Коши \ve\p ^ _ (при подходящем з), получаем также
второе
s - р
неравенство в (18). Это завершает доказательство леммы 8 и анализ
гомологического уравнения.
§ 6. Квадратичная зависимость погрешности
В соответствии с рассуждениями раздела 2 ожидается, что видоизмененные й
= и + v (v = uqw), полученные с помощью ньютоновских итераций, дадут
квадратичное улучшение погрешности. Следующая лемма уточняет это:
Лемма 10. Пусть и удовлетворяет предположениям леммы 8 и, кроме того,
пусть и = и + v удовлетворяет (и, и+) 6 при | Im#| < р для некоторого 0 <
р < г. Тогда
\Е{Ф)\р ^ -^-\Е(и)\1 (29)
(г - р)4т
где се = св(М, N, К, к, сг).
Доказательство.
При указанном и оценим погрешность
\Е(и)\р = \Е(и + v)\p = | Е(и) + E'(u)v + Q\p,
где Q обозначает остаток. Из (13) получаем
щЕ{и) + ueE'{u)v = vE'{u)ug,
7. Предельный переход
321
или E(u)+E'(u)v = wE'(u)ue = v)-j^E(u). Используя (28) для го, вместе
ад
с оценкой Коши
ТдЕ^
\Е{и)\г
< с--------, можно получить
г - р J
\Е(и)\1 \Е{и)\1
' (г - р)2т+1 4 (г - /э)4т'
\тр/ \ I тр1 ( \ I / \±J\u,)\r , \±J\u,)\r /оп\
|E(u) + E (u)v\p ^ c4------------------------------4---------------------
-------------------------------------(30)
где C4 = C4(M, iV, КГ, n, а). Кроме того, ошибка Q квадратично мала в
смысле \Е(и)\г. Действительно, по формуле Тейлора для некоторого 0 ^ t ^
1 имеем:
Q = \^E{u + tv).
Из (3) получаем
\Q\p ^ c5\v\l, (31)
где es зависит только от |/i|c3- Отсюда из (18) и из (30) получаем
требуемую оценку (29).
§ 7. Предельный переход
В этом разделе мы уточним детали процесса итераций ньютоновского шага
(15) и покажем, что он сходится к решению уравнения Е(и) = 0.
Выберем последовательность г = го > ri > ... с гп -> Гоо > 0, в
соответствии с гп = + 2-"(го - Гоо), и построим последователь-
ность м0, Mi, ... , м", ... с помощью ип = un-i + (un-i)ewn-i, где wn-i ?
WTn - решение гомологического уравнения (14) при м = m"_i.
Сперва покажем ,что решение уравнения Е(и) = 0 существует (при условии,
