КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
продолжил вслед за А. П. Маркеевым [7*] исследование устойчивости точки
равновесия гамильтоновых систем несколько более общего вида. - Прим.
перев.
Лекция 1
155
Рис. 1'. Результаты непосредственного интегрирования при 15=0.04167
Рис. 1". Линии уровня формального интеграла при Е = 0.04167
Рис. 2'. Результаты непосредствен- Рис. 2". Линии уровня формального
интегрирования при 15=0.08333 ного интеграла при Е = 0.08333
отбросил члены выше 8-го порядка и использовал этот приближенный интеграл
для вычислений, иллюстрируемых рисунками 1"-4". Сравнение пар рисунков
демонстрирует превосходное совпадение только
при Е ^ тогда как при E=\viE=\y Хенона и Хейлеса кри-12 о о
вые распадаются, что, конечно, с результатами Густавсона не согласуется.
Это расхождение представляет собой недвусмысленное указание
156
Лекции о гамильтоновых системах
Рис. 3;. Результаты непосредственного интегрирования при 15=0.125
Рис. 3". Линии уровня формального интеграла при Е = 0.125
Рис. 4'. Результаты непосред- Рис. 4". Линии уровня формаль-ственного
интегрирования при ного интеграла при Е = 0.16667 Е = 0.16667
на расходимость рядов, фигурирующих в рассуждениях. Мы вернемся к вопросу
о сходимости и расходимости этих рядов в следующей главе.
Тем не менее, несмотря на предположительную расходимость, формальный
интеграл отражает действительную ситуацию с большой степенью точности.
Это явление очень похоже на использование расходящихся рядов для
получения асимптотики. К примеру, функция
СЮ
f(x) = J dt> х < °>
о
Лекция 2
157
имеет формальное тейлоровское разложение ^ п\хп, которое, понятно,
71-0
расходится, но весьма полезно для численных оценок интеграла.
Однако у этой аналогии есть дефект: упомянутая функция /(ж) корректно
определена, независимо от своего разложения в ряд, в то время как
интеграл G существовать не обязан. Другими словами, наши ряды
аппроксимируют, возможно, несуществующий интеграл!
е. Мы упомянем о другом подходе к построению нормальной формы. Вместо
процедуры исключения нерезонансных членов, основанной на использовании
линеаризованного уравнения (что дает в конце концов нормальную форму),
можно использовать нелинейную аппроксимацию системы. Малые знаменатели
оказываются тогда не числами, а полиномами, что приводит к разложениям по
рациональным функциям. Такая процедура намечена в [20] и проведена
Глиммом в [11].
Лекция 2 Сходимость, расходимость, несуществование интегралов
а. Выше упоминалось, что ряды, существование которых утверждает
теорема Биркгофа, вообще говоря, расходятся, т. е. их радиус сходимости
равен 0. Точный результат в этом направлении был получен К. Зигелем [29].
Мы сформулируем его теорему для случая с двумя степенями свободы, не
приводя сложного доказательства.
Снова рассмотрим гамильтониан вида
Н = ^^(х1 + у1) + Н^(х,у) + ... (1)
и=1
и обозначим общий член ряда через
CklXkyl = СщЫгЦХ^Х^у^у^.
Предположим, что этот ряд сходится, т. е. его коэффициенты допускают
оценку вида , ,
\ckl\^MA^+^-, \k\=h+k2.
Далее мы будем считать М = 1 и А = 1, т. е.
|сы| ^ 1, (2)
заменяя в случае необходимости t на Mt, а (ж, у) на Л-1 (ж, у).
Рассмотрим теперь множество (c) всех степенных рядов Н, коэффициенты
которых удовлетворяют неравенству (2). Мы хотим показать,
158
Лекции о гамильтоновых системах
что гамильтонианы с иррациональным отношением щ, для которых
преобразование Биркгофа расходится, в некотором смысле плотны в (c). Для
этой цели нам придется ввести в (c) топологию. Окрестностью в (c)
О
степенного ряда с коэффициентами см будем называть множество степенных
рядов с коэффициентами сы, удовлетворяющими неравенствам
Iсы - сы | < ?ы при всех k, I, (3)
для некоторой последовательности положительных чисел еы, убывающих сколь
угодно быстро с возрастанием |fc| + |/|.
Теорема 4 (К. Зигель [29]). В любой окрестности (3) в (c) найдется
гамильтониан с иррациональным отношением для которого преобразование
Биркгофа расходится, т. е. гамильтонианы, соответствующие расходящемуся
случаю, плотны.
Эта теорема показывает, что вопрос о сходимости преобразования Биркгофа
не может быть решен, если гамильтониан известен лишь с определенной
степенью точности, так что вопрос этот физического смысла не имеет.
Между прочим, в некотором смысле и гамильтонианы, для которых
преобразование Биркгофа сходится, тоже плотны в (c). Если мы отбросим в
рядах, задающих преобразование Биркгофа, старшие члены, сохранив только
члены до порядка N, а затем подправим коэффициенты данного гамильтониана
при старших членах, то получим тривиально сходящееся преобразование
Биркгофа для модифицированного гамильтониана. Иными словами, если мы
введем другую топологию в (c), рассматривая в качестве окрестностей ряда с
коэффициентами сы все ряды с коэффициентами сы, удовлетворяющими
неравенствам
|сы-сы|<? ДЛЯ |fc| + |/| ^ N,
для некоторых е > 0 и N ^ 3, то множество гамильтонианов, соответствующих
сходящемуся преобразованию Биркгофа, окажется плотным в 6. Эта топология,
