КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
(к)
сутствие доказательства сходимости последовательости КЕ ' к пределу. С
другой стороны, колмогоровское доказательство сходимости не было
опубликовано до того, как Арнольд [4] использовал некоторый вариант этого
доказательства в своем исследовании задачи Данжуа (Denjoy).
Доказательство Арнольда проясняет, какого рода оценки должен был
использовать Колмогоров при получении результата. После появления
Введение ко II тому избранных работ Юргена Мозера
13
статьи Арнольда многие авторы опубликовали различные варианты
колмогоровского доказательства для различных ситуаций. Джорджид-ди
(Giorgilli) обосновано предположил, что доказательство сходимости в [8] в
точности совпадает с колмогоровским.
В то время, когда Мозер писал свою статью "Об инвариантных кривых
отображений кольца, сохраняющих площадь", он по-прежнему не понимал
доказательства Колмогорова. Достаточно странно, что он считал своим
провалом то, что смог доказать теорему об инвариантных кривых для случая
гладких функций, но не доказал для случая аналитических функций,
поскольку он хотел восстановить доказательство Колмогорова. Вместо этого
он создал нечто новое. Обычно это не считается провалом в математике!
Разумеется, точка зрения Мозера о том, что Колмогоров не доказал
объявленный им результат, в то время казалась обоснованной ввиду
отсутствия доказательства сходимости.
Влияние статьи Колмогорова на работу Мозера явно просматривается в
итерационной процедуре Мозера. Как и Колмогоров, Мозер доказывает
существование инвариантных кривых с помощью бесконечной
последовательности замен координат и перехода к пределу. Значительным
отличием между доказательствами Колмогорова и Мозера является
доказательство сходимости. (Разумеется, под "колмогоровским
доказательством сходимости" мы понимаем доказательство, приведенное в
статье Арнольда.)
Традиционно и колмогоровская, и мозеровская теорема рассматриваются как
теоремы о неявной функции, и здесь мы последуем этой традиции. Таким
образом, мы пытаемся решить относительно и функциональное уравнение F{u)
= /, где функция / задана. В случае Колмогорова / - аналитическая
функция, и мы ищем аналитическое решение и. В случае Мозера / -
дифференцируемая, и мы ищем дифференцируемое решение и. (Хотя в этом
случае обязательно происходит потеря производных). Также традиционными
являются описания доказательств обоих авторов как "обобщенных
ньютоновских итерационных" методов - после статьи Колмогорова [9]. В этом
методе и строится как предел щ, где F'(ui)(ui+i - щ) = f - F(ui). Если
производная F' от F имеет ограниченную обратную функцию в каждой точке
подходящей области банахового пространства и разность / - F(uo)
достаточно мала, то щ сходится к решению уравнения F(u) = / и в
действительности сходимость является квадратичной, т. е.
||^г+1 ^ COIlSt • ||Ui - .
14
Дж. Н. Мезер
Та сложность, которую Колмогоров и Мозер должны были преодолеть
заключалась в том, что хотя F' является обратимой, обратная к ней функция
неограниченна ни в какой из разумных норм. Метод Колмогорова заключался в
введении бесконечной последовательности норм || ||j и получении оценок
вида
||^г+1 ^г||г+1 ^ F ' 11U{ U{ - i 11 j .
Здесь IHI; является sup-нормой периодической аналитической функции и в
полосе |1ти| < r(j^ + вдоль вещественной оси. Если и не
продолжается на такую полосу, то ||и||^ по определению равна +оо.
В дифференцируемом случае такое решение проблем, связанных с
неограниченностью обратной функции от производной, невозможно. Решение
линеаризованной задачи F'(u)v = w связано с потерей производных: а если w
? Сг, тогда решение v в общем случае принадлежит Cr~s с некоторым
фиксированным значением s (которое зависит от диофантова показателя).
Вследствие этого колмогоровский метод решения линеаризованного уравнения
и проведения итераций не применим в дифференцируемом случае: после
конечного числа шагов производные заканчиваются.
Метод Мозера связан с выполнением сглаживания перед решением
линеаризованной задачи. Это приводит к приближенной обратной функции
линеаризованной задачи, которую Мозер использует вместо колмогоровской
точной обратной функции. Мозер ранее применял этот метод в [13] для
получения улучшенной версии теоремы Нэша (Nash) об изометрическом
вложении с более простым доказательством, чем оригинальное доказательство
Нэша. Теорема Нэша об изометрическом вложении находилась в центре
внимания Мозера в течение многих лет, и он неоднократно обсуждал ее с
Нэшем. Мозер всегда говорил, что метод, использованный в статьях [13] и
"Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь", во
многом возник благодаря идеям Нэша. После статей Мозера этот метод стал
называться методом Нэша-Мозера. При чтении статьи "Об инвариантных кривых
отображений кольца, сохраняющих площадь" вы увидите, что выбор
правильного оператора сглаживания является очень важным.
В теореме 3 из этой статьи рассматривается случай "малого закручивания".
