КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
и=1
часть искомого преобразования есть просто тождественное отображение.
Тогда функция W имеет вид
П
W=Y, XvVv + W(3) + • • • + W(S) + • • • ,
v=l
где - однородный полином степени s от х, г].
Выбор = X) основан на том, что Я(2) уже имеет нор-
мальную форму. Мы можем продолжить по индукции, считая первый шаг
сделанным. Пусть W^-2\ ... , W^s~1'1 уже определены таким образом, что
Г^2), ... , имеют требуемую форму. Приравнивая члены
порядка s в (8), мы получим уравнение
DW(s) +Г(8) = P{s)(x, г])- (9)
П / \
U= 1 4 У
для W^s\x, rj), где P(s\x, rj) есть однородный полином степени з, а его
коэффициенты выражаются через коэффициенты Н и через коэффициенты
полиномов которые уже определены.
Выразим переменные х и т/, входящие в уравнение (9), через комплексные
переменные1
Cis - xv -Ь ifjj/, - xu iffjy
и вспомним, что
D(CkV) = i(a, k - l)ChCl.
Любой однородный полином, скажем Р, можно разбить на две части Р = PN +
PR, где PN содержит все члены Р нормального вида, т. е. те, которые
допускались в нормальной форме, тогда как PR содержит оставшиеся члены.
Ясно, что это разбиение единственно и мы имеем DPn = 0. Отметим, что
(DW)R = DW для любого W, поэтому уравнение (9) приводит к системе
DW(s)=P(r], r(s) = Р^К
¦'¦Обратите внимание на то, что символы ?и имеют теперь несколько иной
смысл по сравнению с предыдущим.
Лекция 1 153
Первое уравнение разрешимо относительно W^s\ поскольку содержится в
образе D, а второе определяет требуемое Г*8), т. е. такое, что =
0. Этим индукция, а следовательно, и доказательство за-
канчиваются.
При J - 0 эта теорема совпадает с теоремой Биркгофа, которая тем самым в
ней содержится.
Заметим, снова опуская вопрос о сходимости, что можно построить п - г
независимых интегралов вида
п
G + где 7_L J.
U=1
Действительно,
п п
JtG = ? GivTVv - GVvTiv = 2 ^7,(6TV - Л),
v=l v=l
и если Г мы выразим через Q, Q, то общий член ?*?* будет умножаться на
2i(j,k - I), где к - I е J. Следовательно, если мы выберем 7 _L J, то G
будет формальным интегралом. Так как J имеет размерность г, мы можем
найти п - г линейно независимых векторов 7 и, следовательно, п - г
функционально независимых интегралов, что мы и хотели показать.
Для гамильтониана (6) эти интегралы были вычислены Густавсо-ном; его
результаты очень хорошо согласуются с результатами Хенона и Хейлеса, по
крайней мере для величин энергии, не превышающих i.
О
В примере у нас п = 2, г = 1, J: ji + j'2 = 0, и чтобы получить второй
интеграл, мы можем положить 71 = 72 = 1, что дает
G =(Й + vi) + (Й + %2)-
Если Н преобразовано к нормальной форме Г, то
2Г = g + rfi+? + r$ + ...
начинается с тех же самых членов, что и G, и выражение 2Г - G дает нам,
вообще говоря, еще один интеграл. Возможно, конечно, что этот интеграл
зависит от G; так бы и случилось, если бы Г было степенным рядом от G.
Прямые вычисления показывают, однако, что это не так.
154
Лекции о гамильтоновых системах
Заметим, что коэффициенты Г, вообще говоря, не инвариантны относительно
канонических преобразований. Это происходит из-за того, что
преобразования нормальной формы в себя не образуют коммутативную группу.
д. Численные результаты. Для того чтобы представить свои численные
результаты графически, Хенон и Хейлес заменили некоторым стандартным
образом четырехмерный поток двумерным отображением. Используя сохранение
Н вдоль траекторий, они ограничились рассмотрением движений на трехмерном
многообразии Н = Е, где Е > 0. На этой изоэнергетической гиперповерхности
была выделена двумерная поверхность х\ = 0 и отмечались последовательные
точки, в которых частное решение пересекает эту поверхность.
Если исключить г/i, используя уравнение
Н = + 2/2 + Ж1 + Х\) + х\х2 - ^Х2 = Е, (10)
и положить х\ = 0, то в качестве координат на двумерной поверхности можно
использовать Х2, У2• Так как у\ ^ 0, на эти координаты налагается
ограничение
\Ы + х1) ~ 1Х1 ^ Е.
В этой области, которая при малых значениях Е представляет собой овал,
Хенон и Хейлес отметили последовательные точки попадания решения на
секущую поверхность (рис. 1'-4'). Оказалось, что для малых значений Е эти
точки имеют тенденцию группироваться в семейство кривых на плоскости1.
При возрастании же Е эта структура довольно внезапно начинает распадаться
(см. рис. 3', 4').
Наличие структуры семейства кривых, наблюдаемое при малых значениях Е,
отчетливо указывает на существование интеграла. А именно, если G -
интеграл, то последовательный ряд точек пересечения принадлежит множеству
G = const, которое представляет собой кривую на плоскости. Используя
найденный выше формальный интеграл, Густавсон вычислил соответствующее
семейство кривых. Он
1 Недавно Мартину Брауну [12*] удалось строго показать, что при
достаточно малых постоянных энергии инвариантные кривые отображения
плоскости в себя, порождаемого гамильтонианом (10) описанным здесь
способом, существуют на самом деле, причем образуют множество ненулевой
меры. Используя нормальную форму Густавсона (см. теорему 3), он также
