КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
(,) означают скалярное произведение. Если подобный ряд сходится, то его
сумма именуется квазипериодической функцией. Квазипе-риодическая функция
- это функция почти периодическая, характеризующаяся тем, что ее частоты
имеют конечное число образующих, здесь ГЛ, ... , ГРп.
Заметим, что если бы ряды для pv = Q + гЦ сходились, то эти выражения
были бы интегралами движения; в общем же случае мы можем говорить только
о формальных интегралах. Ряд G(x, у) мы называем
формальным интегралом, если формальный степенной ряд иначе
П
'^2Gx"Hyi, - Gy"HXi/ = [G, Я]
v=\
равен нулю тождественно. Таким образом, выразив pv через х, у, мы получим
п формальных интегралов. Ясно, что эти интегралы независимы (в формальном
же смысле) друг от друга, но гамильтониан Г от них зависит, ибо
представляется в виде формального ряда от pi, р2, , рп-
Все эти утверждения имели бы содержательный характер, если бы
преобразование к нормальной форме выражалось сходящимися рядами. Однако,
как теперь известно, эти ряды сходятся только в исключительных случаях, а
в большинстве случаев (в смысле категорий Бэра) они расходятся. Это
обстоятельство обязано - среди прочего - своим про-
П
исхождением наличию так называемых малых знаменателей ^ jvotv =
1У= 1
= (j,a), которые входят в коэффициенты и, v. Другое слабое место -
нереалистичность предположения о рациональной независимости av. Отметим
контраст между этим предположением и предположением теоремы Ляпунова об
отличии от нуля только выражений jiai - av для v > 1. Как следствие эти
выражения оказываются отделенными от нуля и сходимость обеспечена. В
теореме 2 выражения (j,a), как было предположено, отличны от нуля при j ф
0, но тем не менее они подходят к нулю произвольно близко (если п ф 2).
Более того, в этой ситуации значения (j, а) образуют плотное множество на
вещественной оси.
Как и в предыдущем случае, можно показать, что нормальная форма Г
инвариантна при канонических преобразованиях и что любое каноническое
преобразование, переводящее одну "нормальную форму"
150
Лекции о гамильтоновых системах
в другую, с гамильтонианом Г = Г(?, rj) имеет вид
6/ = 6/ COS фРи + Т]" sin фРи,
= sin фРи + т]" cos фРи
где ф - формальный степенной ряд от pv = Q + гЦ. Это в точности те
канонические преобразования, которые сохраняют pv = ^ + г]2 и,
следовательно, Г = Г. Ясно, что они образуют коммутативную группу; это
обстоятельство является центральным фактом в доказательстве
инвариантности Г.
г. Резонансный случай. Недавно Контопулос [6] при изучении
галактических моделей рассмотрел некоторый класс задач, в которых
допускаются резонансы. Численные исследования, в особенности те, которые
были проведены Хеноном и Хейлесом [15], определенно указывали на то, что
может существовать нетривиальный интеграл, отличный от рассмотренных
ранее. Это представляется на первый взгляд весьма удивительным; но, как
показал Густавсон [13], можно дать простое формальное построение этого
интеграла1.
Хенон и Хейлес рассматривали гамильтониан
с двумя одинаковыми частотами ад = "2 = 1- Здесь метод, использованный
нами выше, разумеется, неприменим, однако можно найти другую нормальную
форму для гамильтониана, для которой соответствующий интеграл может быть
вычислен сравнительно просто.
Мы начнем, следуя Густавсону, с более общей ситуации и попытаемся
построить нормальную форму для произвольного гамильтониана
Они образуют модуль J, размерность которого мы обозначим через г. Для
рационально независимых а, например, г = 0.
1Другой подход к исследованию таких интегралов осуществлен недавно в
[14].
Н - Ух + У2 + х\ + х2 + 2x1x2 - ?Xt}
(6)
П
Н - ^ ^ atv(x2v + у^) + ...
(7)
Лекция 1
151
Помимо членов, входящих в старую нормальную форму, в новую войдут и
другие. Переходя к комплексным переменным ?" = ?" + irj", = & - Щич
разложим Г по произведениям
П
CkCl = П C^clr-1/=1
Говорят, что Г имеет нормальную форму, если ее разложение содержит только
члены ?*? с к - I € J, что равносильно требованию
DV = О,
где D = ^2 av ( То, что эти условия эквивалентны,
,/=1 V )
очевидно, так как
П
В(СкС1)=^а"(К-1")(СкС'),
v=\
т. е. г (а, к - I) являются собственными числами дифференциального
оператора D, действующего на формальных степенных рядах.
Теорема 3.1 Если модуль J определяется условием (7), то существует
формальное каноническое преобразование (4), такое, что гамильтониан Н(х,
у) преобразуется к нормальной форме, т.е. справедливо равенство
DT = 0.
Доказательство.
Мы попытаемся найти такую производящую функцию W(x, rf),
чтобы преобразование, определяемое ею посредством уравнений
у = переводило Н(х, у) в Г(?, rj), другими словами, мы попыта-
емся решить уравнение
Н(х, Wx) = r(W4, V) (8)
относительно W и Г. Для этого мы сравним коэффициенты при соответствующих
членах разложений, рассматривая х, 1] как независимые величины.
хСм. [19], а также [13].
152 Лекции о гамильтоновых системах
П
Допустим, что разложение W начинается с X х"г)", т. е. линейная
