КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
1См., например, [30] и [31], §13, где, впрочем, переменные несколько
другие (xjdz iyv). Алгебраические вопросы, связанные с приведением
линейной гамильтоновой системы к нормальной форме каноническим линейным
преобразованием, подробно рассмотрел Дж. Вильямсон [8*]-[10*]. - Прим.
ред.
п
(2)
+ iyv
146 Лекции о гамильтоновых системах
Чтобы получить информацию о нелинейной системе, мы сначала попытаемся
найти для нее аналоги периодических решений
xi + г?/1 = cie"*ait, xv + iyv = 0 для и > 1,
так называемых "нормальных мод". Если воспользоваться геометрическим
языком, то можно сказать, что эти решения заполняют двумерную плоскость
Xi, yi. Хорошо известен результат Ляпунова, согласно которому у
нелинейной системы существует двумерное многообразие xv = = <pv(xx, ух),
yv = ф"(хх, ух) (v = 2, ... , п), заполненное периодическими решениями.
Посредством канонического преобразования
х" = V), Уи = П) {v = \, ... ,п) (3)
мы переведем это многообразие в координатную плоскость ?i, щ. Это
означает, что для преобразованного гамильтониана Г(?, 7]) = Н(х, у)
выполняются условия = 0 при ?" = гу, = 0, у = 2, ... , п.
Другими словами, инвариантное многообразие определяется теперь
соотношением = r\v = 0 (у = 2, ... , п).
Теперь мы можем сформулировать теорему Ляпунова.
Теорема 1 (А. М. Ляпунов). Если при всех уф 1 отношение ^ не является
целым, то существует каноническое преобразование, обратимое в окрестности
w = 0, которое приводит гамильтониан к виду
г = Ф(й + ^) + о(И2),
где из' = (^2? • • • ? Сп,г]2, • • • > Vn)> cl Ф является функцией
единственной переменной р = ?,х + Vi-
Доказательство этой теоремы можно найти в [31]. От читателя потребуются,
однако, некоторые дополнительные усилия, чтобы установить каноничность
приводящего преобразования, доказательство которой там опущено1.
Теорема Ляпунова утверждает, таким образом, что на многообразии из' = 0
рассматриваемая система приводится к гамильтоновой системе с одной
степенью свободы, а именно
ix = 2Фрг]х,
г]х = -2Фр^1,
1 Обобщение теоремы Ляпунова, относящееся к случаю, когда одно из
отношений является целым числом, см. в [2*], [3*]. - Прим. перев.
Лекция 1
147
которая обладает только периодическими решениями
& + im = се_2*фр*,
заполняющими все это многообразие, т. е. найденные решения составляют
искомое семейство. Функция р, разумеется, постоянна на любом решении этой
системы, т. е. является "интегралом движения". Полезно заметить, что
частота ад заменяется здесь функцией 2Фр, которая, вообще говоря, зависит
от р.
Эта теорема применима к целому ряду задач, в частности к изучению
периодических решений вблизи точек равновесия L4, L$ в ограниченной
задаче трех тел при достаточно малом параметре р.
С алгебраической точки зрения интересно отметить, что функция Ф
инвариантна при канонических преобразованиях. Если обозначить через Ii
криволинейный интеграл
вычисленный вдоль периодических решений с периодами, близкими
функцией от Ii = 2жр. В частности, коэффициенты ад, /3, 7, ... разложения
являются каноническими инвариантами, которые будут играть важную роль в
дальнейшем.
в. Квазипериодические решения, теорема Биркгофа. Изложенные выше
результаты относятся только лишь к некоторым периодическим решениям, к
"нормальным модам", в то время как можно попытаться получить информацию
обо всех решениях вблизи точки равновесия, что приводит к теореме
Биркгофа; к ней мы сейчас и перейдем. Чтобы избежать принципиальных
трудностей, связанных со сходимостью, все степенные ряды, с которыми нам
придется иметь дело, включая и те, которые задают преобразования
координат:
Ф = ^р + /Зр2+7р3 + ...
х = и(?, rj) =?+... , у = v(?, Г]) = 1] + ... ,
(4)
148
Лекции о гамильтоновых системах
условимся считать формальными степенными рядами, т. е. заботиться об их
сходимости мы не будем. Формальное преобразование будем называть
каноническим, если оно задается производящей функцией
П
W(X, 7]) = + ... ,
и=1
также являющейся формальным рядом, с помощью формул
Си ' Уи - ^*1/ •
Теорема 2 (Дж.Биркгоф [5]). Если собственные числа ai,... ,ап рационально
независимы, то существует формальное каноническое преобразование (4),
которое переводит Н(х, у) в формальный гамильтониан
Г - r(pi, , рп),
являющийся степенным рядом от pv = Ct + тЦ.
Доказательство этой теоремы мы приводить не будем. Она, однако,
содержится в более общей теореме 3 следующего пункта, которая будет
доказана.
Теорема Биркгофа может рассматриваться как обобщение теоремы Ляпунова:
если бы все ряды, о которых идет речь, сходились, то система
Си + Щи = Гч" - *Ге" = - 2iYри (р)(Си + Щи)
полностью интегрировалась бы и ее решения давались бы формулой
Си + Щи = cve~2lT Pvt, (5)
а решения исходной системы имели бы вид
x = u(C,t]), y = v(C,T]),
где С, г/ - тригонометрические выражения (5). Координаты xv
следовательно, представлялись бы тригонометрическими рядами вида
5^сг-е2й<л')1Ч
j
Лекция 1
149
где вектор j = (j 1, ••• , jn) имеет целочисленные компоненты, а скобки
