КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
сомнение, не могут ли разрушить устойчивость нелинейные эффекты? Мы
покажем, что фактически устойчивость нелинейной системы гарантирована для
всех значений /х, удовлетворяющих указанному выше условию, за
исключением, быть может, трех. Подобные же результаты были получены В. И.
Арнольдом [1] и А. М. Леонтовичем [16], только у них исключается счетное
число значений /х. Три исключительных значения были определены м-ром и м-
сс Депри [8]1.
В первой лекции мы рассмотрим поведение гамильтоновых систем около
положения равновесия с формальной точки зрения. Большинство относящихся
сюда результатов восходит к Дж. Биркгофу [5]. Этими вопросами
заинтересовались вновь благодаря работам Контопулоса [6] и [7], который
искал и нашел "третий интеграл" в системе, описывающей модель галактики2.
Соответствующий численный расчет, проведенный Хеноном и Хей-лесом [15],
подтвердил существование такого интеграла. Как показал в недавней работе
[13] Густавсон, эти вопросы тесно связаны с построением нормальных форм;
его результаты будут изложены.
Во второй лекции изучается вопрос о сходимости возникающих рядов. К
сожалению, эти ряды, вообще говоря, расходятся, на что указал Зигель
[29], [30]. Мы приводим конкретный пример, где расходимость
1См. также [7*]. - Прим. ред.
2См. также [24].
144
Лекции о гамильтоновых системах
рядов, о которых идет речь, может быть доказана. Сюда же включены
результаты из недавних работ Рюссмана [26-28].
В третьей лекции исследуется устойчивость равновесных решений для случая
двух степеней свободы; полученные результаты применяются затем к
ограниченной задаче трех тел. Приводимые здесь рассуждения основаны на
теореме автора, устанавливающей существование инвариантных кривых у
отображений, сохраняющих площадь [22].
Наконец, в четвертой лекции дано новое приложение только что упомянутой
теоремы к физической проблеме магнитного удержания. Задача состоит в том,
чтобы построить магнитное поле без вихрей и источников с тороидальными
магнитными поверхностями, причем требуется, чтобы эти поверхности не
разрушались при малых возмущениях поля. Мы обобщаем здесь некоторые
результаты Фолкнера [9]. Кроме того интереса, который эта задача
представляет для физики плазмы, на наш выбор повлияло еще и желание
показать на типичном и важном примере, как применяется метод усреднения.
Лекция 1
Гамильтоновы системы вблизи точки равновесия. Формальный анализ
а. Нашим отправным пунктом будет изучение автономных гамильтоновых
дифференциальных уравнений вблизи точки равновесия, поскольку большинство
типичных задач возникает уже в этом простейшем случае. В частности, нас
будут интересовать вопросы устойчивости и задача о существовании
интегралов и периодических решений.
Рассматриваемую гамильтонову систему запишем в векторном виде
w = JHW, (1)
где w = (w 1, ... , и>2п)? J = (Д J) и через Hw обозначен градиент Н.
Без ограничения общности можно считать, что точка равновесия находится в
начале координат, так что градиент Н при w = 0 обращается в нуль.
Предполагая, что Н является вещественно-аналитической функцией,
представим ее степенным рядом от "i, , w2п начинаю-
щимся с членов 2-го порядка. В силу автономности системы (1) Н является
интегралом движения. Интересная задача о существовании других
Лекция 1
145
интегралов у рассматриваемой системы, функционально независимых от Н,
имеет длинную историю. Этим вопросом занимался еще Пуанкаре (ему
принадлежит теорема о несуществовании однозначных интегралов); ею также
занимался Зигель [29], [30]. Относящиеся сюда численные и аналитические
исследования Контопулоса, проведенные недавно, позволят, быть может,
взглянуть на этот тонкий вопрос по-новому.
Мы начнем с двух основных результатов: теоремы Ляпунова о существовании
периодических решений и теоремы Биркгофа о существовании нормальной
формы. Затем перейдем к вопросу о сходимости рядов, задающих
преобразование к нормальной форме и некоторым последним результатам
Густавсона [13] о нормальной форме в резонансном случае.
б. Периодические решения, теорема Ляпунова. Весьма важную роль в наших
дальнейших рассуждениях будет играть линеаризованная система
дифференциальных уравнений, которая определяется квадратичной частью Н2
гамильтониана. Будем предполагать, что эта линеаризованная система имеет
только ограниченные решения, и более
того, потребуем, чтобы собственные значения матрицы J
были чисто мнимы и притом различны. Как хорошо известно, в этом случае
можно найти такое линейное каноническое преобразование координат, что Н2
в новых координатах приобретает вид
где xv = uv, yv = wv+n при и = 1,2,... , п. Это соответствует приведению
матрицы к диагональному виду при помощи симплектической матрицы1. В новых
координатах решение линеаризованного уравнения выглядит очень просто:
Стоит заметить, что все эти решения ограничены независимо от того,
определена ли положительно Н2 или нет, поскольку av вещественны (и
различны, как мы предположили).
