КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
степени < N такой, что
Такие тригонометрические многочлены можно построить с помощью операторов
свертки в любой размерности п (см. [31]). Положим N = 4~к и fk = PN(x)
при к = 1,2,... и /о = 0. Тогда, очевидно, fk - целые функции и при
вещественных х \fk - fk+1\ ^ \fk - f | + |/*+i - /| ^ ^ 2c\hlk |/|,.
Используя известную теорему С. Н. Бернштейна, получаем оценки для всех
производных тригонометрического многочлена
Для получения оценки для fk - fk+i в комплексной области при |1тж| < hk
используем разложение в ряд Тейлора и получим
Доказана первая часть леммы. Обратное утверждение следует из неравенств
Коши, но мы не будем здесь останавливаться на доказательстве.
с) Для дальнейшего нам понадобится небольшое обобщение теоремы 1 из §
5 (или дополнения к ней из §6). Напомним, что теорема 1 утверждает, что
дифференциальное уравнение (6.1), где А - постоянный вектор, приводится к
виду (6.3). Мы же потребуем, чтобы поправочный член имел вид Ар{х), где
матрица р(х) вещественно-аналитична при |1тж| < h и удовлетворяет условию
fix) ~PN{x)\< jjj |/|,-
fk fk-\-1
\fk - fk+i\s ^ (4:k+1)s2cihk |/|, <: c2hl~s |/|,.
|A| ^ \p{x)X\ ^ 3 |A|
(7.2)
Глава 3
135
для любого вектора Л. Тогда можно доказать, что существует Л, |А| < 2е,
при котором система
х = ш + f(x) + р(х) А (7-3)
также приводится к виду (6.3)1.
d) Начнем теперь доказательство теоремы 3. Применим лемму 1 к данной
функции /(ж) - и> 6 С1 и построим функции /о = w и Д(ж), которые
аналитичны при |1тж| < 4hk = 4г~к и удовлетворяют условиям (7.1). План
доказательства состоит в следующем: мы будем использовать теорему 1 в
сформулированной выше обобщенной форме для доказательства существования
констант Ц). и преобразований Uk, переводящих уравнение х = fk(x) + Ц). в
уравнение | = и>. Более точно, наше утверждение состоит в следующем. При
к = 0, 1, ... существуют вещественно-аналитические преобразования Е7*: ж
= С/*(|) и константы Ц). такие, что
Шк+Гк,ик) =LJ. (7.3')
Сверх того, преобразование Uk отображает полосу '?>k+1- |1тж| < < 4~к~г в
полосу Dk и при вещественных | удовлетворяет неравенству
IUk -1| < сб, (7.4)
а константы ^ удовлетворяют неравенству
\цк+1-1Лк\<с64~к. (7.4')
Докажем это утверждение по индукции. При к = 0 можно, очевидно, положить
/ло = 0, Uo(0 = |, так как /о = ш. Предположим теперь, что это
утверждение доказано в той форме, как оно сформулировано выше и покажем
тогда, что справедливо утверждение, в котором к заменено на к + 1.
Рассмотрим, как действует преобразование Uk на уравнение с правой частью
fk+i + Цк + А при различных А. Имеем
$(fk+i + р,к + 2А, ик) = Ф + 2U'k~1X. (7.5)
1Для доказательства этого утверждения заметим, что преобразование х -у х
+ Аи(ж), А -у А[р], где и - решение уравнения uxto = р{х) - [р], приводит
уравнение (7.3) к виду х = ш + fi(x) + 0(А2) + А. Следовательно, при |А|
< 2е
и при достаточно малом ? выражение 0(А2) не превосходит е. В такой форме
сформулированное утверждение есть следствие из теоремы 1 § 5.
136
Быстро сходящийся метод итераций
Функция Ф определяется из этого уравнения. Сравнивая уравнения (7.3) и
(7.5) и используя лемму 1, находим
|Ф - = \$(fk+l + Цк, Uk) ~ ${fk + Цк, Uk) | ^
^ \ fk+i - fk\^ c/i^.
Если S достаточно мало, то из (7.4) следует, что
|Ф - ш\ < 2chlkS при |1тж| < hk- (7.6)
Применим теорему 1 к дифференциальному уравнению х = Ф(ж) + +2Ujs~1X,
используя то обстоятельство, что при достаточно малых 6 1 ^ 12U'k 11 sC
3. Оценка (7.6) гарантирует выполнение этого неравенства при е = 2chlkS,
h = hk+1- Величина ^?+1 ^ 4а+2с8 достаточно
hk+i
мала, если 6 выбрано достаточно малым. Следовательно, существует Л,
удовлетворяющее неравенству
|А|<2? = 4 ch[S, (7.7)
и преобразование координат х = ик+i(C), переводящее область
|Imх\ < ^hk+1 В Sfc+1, такие, что
^(ф + гс/'^А, Uk+i) = ш
или, используя (2.1), 3'(/fe+1 + Цк + 2А, Uk ° uk+i) = ш.
Полагая
Uk+i = Uk ° Uk+1, Цк+1 = /J-к + 2A, получаем $(fk+i + Цк+l?
Uk+i) = ы,
т. e. доказываемое утверждение. Нам осталось проверить различные оценки.
Так как преобразование Uk+i переводит область
М < \hk+1 (7.8)
в область 'jQk+i, а преобразование XJk переводит 55*,+1 в 55^, то ясно,
что преобразование Uk+i = Uk переводит область (7.8) в область 55^.
Из дополнения к теореме 1 (§ 6) получаем
К-11uk+1 - ?|0 + \ик+1 - ?|х ^ с-^ ^ c6h%, (7.9)
^к + 1
Литература
137
где а = I - а - 1>0. Следовательно, представляя преобразование Uk+i в
виде Uk+i = U1OU20 ¦. ¦ °Uk+i и применяя правило дифференцирования
сложной функции, находим (если 6 достаточно мало)
| Uk+1-t\1^rJS'?h^c"6. (7.10)
Таким образом, установлена оценка (7.4) в области (7.8). Покажем теперь,
что преобразование Uk+i отображает область Dk+2 в 2)*+1. Заметим для
этого, что функция f/(?) = Uk+i(?) вещественно-аналитическая, и поэтому
при Re? = р получаем |Imf7(?)| = |Im(f7(?) - U(p))\ ^ ^ \U'\ |Im?|. В
силу (7.10) можно считать, что \U'\ ^ 2 и, следовательно, |Imf7(?)| ^
2|Im?| < hk+i при |Im?| < hk+2- Итак, Uk отображает Э&+2 В 3)fc + i.
