КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
ЪГ ' к-уоо
вектор-функцией в области |1т?| < Далее, при а = 0 и достаточно малом
eh~a~1 находим
lim wk
к-0 оо
Таким образом, предел lim Vk = V* или по компонентам
к-0 оо
V*-.x = v*(?), а = w* удовлетворяет соотношениям
К|<2? и \v'(t)-t\<cJL.
< 5^?& ^ 2?q - 2е.
132
Быстро сходящийся метод итераций
Аналогично нетрудно показать, что
К'(?)-/|<с
ha+1
Тем самым почти закончено доказательство теоремы 1 и дополнения к ней
(нужно положить А = w* +и> и и = "*(?)), за исключением аналитической
зависимости от параметра, который в формулировке теоремы 1 также
обозначается е. Ее легко установить, если допустить, что все возникающие
выше функции являются аналитическими функциями этого аддитивного
параметра е в фиксированной области |ег| < /л. Тогда все приближения ии,
wu будут аналитически зависеть от этого параметра е в той же самой
области |ег| < ц, и так как сходимость приближений равномерна по е, то
предельные функции также будут аналитически зависеть от параметра.
§ 7. Векторные поля на торе (дифференцируемый случай)
а) В этом параграфе мы сформулируем и докажем теорему 1 о потоках на
торе также и в дифференцируемом случае. Первоначально в доказательстве
аналогичной теоремы о существовании инвариантных кривых у сохраняющего
площадь отображения кругового кольца автор использовал при рассмотрении
дифференцируемого случая специальный оператор сглаживания, который
сопоставляет функциям из Сг функции из С°°, мало отличающиеся от них при
больших г. В теории аппроксимаций результаты такого рода хорошо известны,
например теорема Джексона, утверждающая, что функции из Сг можно
приблизить тригонометрическими полиномами степени < N с ошибкой, не
превосходящей cN~r (см. Н. И.Ахиезер [31], гл. V). Мы покажем, как можно
использовать технику приближений для сведения дифференцируемого случая к
аналитическому. Этот подход следует идеям Бернштейна, который
характеризовал дифференцируемые функции тем, насколько хорошо их можно
приблизить аналитическими функциями. Подобным образом мы будем здесь
приближать операторные уравнения, возникающие в дифференцируемом случае,
аналитическими уравнениями. Помимо самостоятельного интереса, этот подход
позволяет получать результаты в предположении, что существует весьма
умеренное чис-
Глава 3
133
ло производных, в то время как предыдущий метод, использованный в работе
[6], был весьма расточительным в этом отношении.
Пусть С1 обозначает класс вектор-функций /(ж), имеющих период 2ж по
переменным х\, ... , ж" и непрерывные частные производные порядков до I
включительно. Классы С1 можно определить и при нецелых I > 0 как классы
функций, у которых производные порядка1 [/] удовлетворяют условию
Гёльдера с показателем / -[/]. При целом I обозначим через \f\{ максимум
всех частных производных порядка до I. При нецелом I положим |/|; =
|/|[/] + / - [/]. Мы докажем следующую теорему.
Теорема З.2 Пусть 1>сг + 1 = т + 2>п + 1 и пусть вектор ш = = (u>i, ... ,
шп) удовлетворяет неравенствам (5.4). Тогда существует положительная
константа до, зависящая только от со, т, I, п, такая, что при |/(ж) - ш\{
< 6 < So существуют константа А и преобразование координат х = ? + м(?),
которое преобразует уравнения ж = /(ж) + А в ? = ш. При этом функция и ?
С1 (точнее, С1~а, если I - а - нецелое число) и имеют место неравенства ^
сб; |А| < сб, где константа с зависит только от со, т, I, п.
Заметим, что функция и имеет, вообще говоря, на а производных меньше, чем
/; это в точности такая же потеря гладкости, как в случае линейного
дифференциального уравнения в частных производных (6.6). Таким образом,
разница между числом производных у правой части и у решения одинакова для
линеаризованного уравнения и для соответствующего нелинейного уравнения.
Ь) Прежде чем доказывать теорему 3, выясним, как можно приблизить
функцию /(ж) ? С1 аналитическими функциями. Это стандартный результат из
теории аппроксимаций, и поэтому мы ограничимся здесь наброском
доказательства.
Лемма 1. Любую функцию /(ж) ? С1 можно представить в виде / = lim fk(x)
при вещественных х, где Д(ж) - вещественно-анали-
k-± ОО
1[Z] - целая часть числа I.
2А. М. Самойленко рассматривал эту задачу в [32]. Он использует описанный
выше оператор сглаживания, в отличие от нашего метода приближения
уравнений аналитическими уравнениями. Это приводит к результату при более
сильных предположениях о дифференцируемости. Самойленко получает I > 1 +
32(rc + 2), а наш метод дает I > п + 1.
134
Быстро сходящийся метод итераций
тические функции, удовлетворяющие условиям
/о = 0 и \fk{x) - fk+i(x)\^ Ah!k при |1тж| < hk = A~k (k = О, 1, ...).
(7.1)
Здесь А ^ с|/|,; а с зависит только от I и п. Обратно, если вещественная
функция / допускает такую аппроксимацию аналитическими функциями и если I
- нецелое число, то / € С1 и |/|, sC с'А, где с' - некоторая другая
константа.
Доказательство.
В силу теоремы Джексона существует тригонометрический многочлен pN(x)
