КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
функций, похоже, является несправедливой.
В статье "Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь"
в основном обсуждаются отображения, а не дифференциальные уравнения. Как
правило, в КАМ-теории доказательства результатов о дифференциальных
уравнениях легко обобщаются на отображения и наоборот. Для случая
отображений "гамильтоново" в точности означает симплектическое. В
двумерном случае последнее эквивалентно тому, что отображение является
сохраняющим площадь.
Мозер рассматривал возмущения отображения (г, в) ь-> (г, 0+f(r)), а ^ г ^
Ь, где в является "угловой" координатой, т. е. в определена по модулю 27г
(mod27r). Это отображение сохраняет окружности {г = = const} и
представляет собой вращение такой окружности. Оно соответствует понятию
"интегрируемого" отображения в случае отображений поверхности,
сохраняющих площадь. Мозер предполагает, что отображение является
"закручивающим отображением". Это означает, что /' нигде не обращается в
ноль. Это условие "закручивания" соответствует колмогоровскому условию
невырожденности, т. е. тому, что
0^ н
det нигде не обращается в ноль.
81
Вместо предположения о том, что возмущенное отображение удовлетворяет в
точности условию сохранения площади, Мозер предполага-
Введение ко II тому избранных работ Юргена Мозера
11
ет лишь то, что оно удовлетворяет более слабому свойству пересечения
кривых. Это значит, что если Г = {9, и(9)}, где и - С|1-функция, тогда Г
пересекает ее образ. Он показывает, что С^-малое возмущение отображения
(г, в) ь-"- (г, 9 + f(r)), которое удовлетворяет свойству пересечения
кривых, имеет инвариантные кривые, если р ^ ро. В этой статье Ро = 333,
но позднее Мозер улучшил свой результат до ро = 3 + ?, а М. Р. Эрман (М.
R. Herman) улучшил его до ро = 3. Так же как в теореме Колмогорова
"сохраняются" те кривые, у которых числа вращения удовлетворяют
диофантову условию. Однако в случае отображений используется
"неоднородное" диофантово условие вместо "однородного" для случая
дифференциальных уравнений. В этой статье диофантово условие имеет вид
|пш - т2ж\ ^ ?п-3/2,
для всех целых п, т при п > 0 (2-к соответствует тому, что переменная в
определена по mod 2-к и не имеет другого смысла). Здесь показатель и из
условия (3) заменен на 3/2. Хотя Мозер во введении формулирует свое
диофантово условие именно таким образом, он приводит доказательство для
любого v, для чего требуется большая степень дифференцируемости
возмущающей функции.
Мозер упоминает в своем введении, что он получил свое доказательство при
"попытке проверить теорему Колмогорова, для которой пока не существует
доказательства". По крайней мере это доказательство было недоступно для
Мозера. Синай рассказал мне, что Колмогоров представил свое
доказательство на семинаре в Москве в 50-х годах. Я считаю, что
доказательство Колмогорова не было доступным ни для кого на Западе.
Холодная война сильно затрудняла научное общение между советскими и
западными учеными.
Колмогоров полностью объясняет формальные аспекты своего доказательства в
своей работе [9], но в ней опущено доказательство сходимости. Его метод
для доказательства сохранения тора {/ = /°} заключается в поиске
канонического преобразования, которое переводит возмущенный гамильтониан
Н = Но + еР в гамильтониан Н*, для которого 1-струя в пространстве (/, 9,
е) вдоль {/ = /°} согласована с Но + М(е) для подходящей функции М(е)
переменной е. Он предлагает строить такое преобразование
(J, ф) = Ке(1, 9)
12
Дж. Н. Мезер
как предел преобразований
<рЮ)=кЮ{1, в),
где преобразования
(J(fc+1), фк+1)) = L{k+1)(J{k\ ?{k))
получены с помощью "обобщенного метода Ньютона". Он явно строит
преобразование
ф),
находя каноническое преобразование, которое переводит возмущенный
гамильтониан Н = Щ + еР в гамильтониан Н^, для которого 1-струя в
пространстве (I, 9, е) вдоль {/ = 1°, е = 0} согласована с Щ + (? для
подходящей константы ?. Он ищет такое преобразование, которое является
аффинным по переменным I. Он показывает, что нахождение равносильно
решению системы линейных уравнений и что эти урав-
дН0
нения имеют единственное решение при условии, что u}q : =
удовлетворяет условию (3). Он также отмечает, что все могут
быть построены из L^ так же, как l}p была построена из ЬЕ. Все это
изложено с достаточной строгостью. Относительно доказательства сходимости
он говорит только, что "лишь использование условий (3) для доказательства
сходимости ... к пределу ... КЕ является немного более тонким".
На мой взгляд, именно об этом Мозер говорит в своем обзоре. Замечания
Мозера интерпретировались различными способами. Как отмечено в [18],
некоторые математики считали, что смысл этого замечания заключается в
том, что Мозер нашел ошибку в доказательстве Колмогорова. Однако, как мне
кажется, все, что Колмогоров написал в своей вступительной статье,
является абсолютно правильным и единственная причина, по которой
доказательство не является полным, это от-
