КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
существования по-прежнему большого количества квазипериоди-ческих
решений, даже если общее решение и не является квазипериоди-ческим. (См.
[15], стр. 8-9 для более полного обсуждения.) Колмогоров показал, что
действительно существует большое количество квазипе-риодических решений
для случая аналитических малых возмущений. Он опубликовал свой результат
в работе [9].
Результат Колмогорова относится к гамильтониану вида
Н(1, 9, ?)=Н0(1)+еР(1, 9, е), (1)
записанного в переменных действие-угол I = (Д, ... , 1п) и 9 = = (01,
, вп). Здесь переменные действие описывают точку в откры-
том шаре Вп пространства Мга. Угловые координаты 9 описывают точку n-тора
1(tm) = М(tm)/Z(tm). Число е является малым параметром. Гамильтониан Но
представляет собой невозмущенную систему, а Р - возмущающее слагаемое.
В классической механике уравнения движения консервативной механической
системы имеют гамильтонову форму, а именно
а _ дН г дН
(2)
Более того, для данной интегрируемой системы можно найти канонические
переменные действие-угол такие, что интегрируемая система будет иметь вид
(2) при Н = Щ. Поскольку координаты являются каноническими, и мы
предполагаем, что система консервативна, возмущенная система будет по-
прежнему иметь вид (2) с возмущенным гамильтонианом вида (1).
Для невозмущенного гамильтониана Но второе уравнение в (2) сводится к / =
0. Следовательно, каждый тор 10 х Тга является инвариантным, 1°
обозначает фиксированную точку I. На этом торе уравнения
движения принимают вид 9 = и>° := Каждая траектория имеет
вид t н-" 9° + tu>°, такой поток на торе называется потоком Кронекера с
вектором вращения и>°. Утверждение Колмогорова состоит в том, что при
некоторых условиях на Н сохраняются инвариантные торы с определенными
векторами вращения. Соответствующие вектора вращения
Введение ко II тому избранных работ Юргена Мозера
9
удовлетворяют диофантову условию, а именно существуют С > 0 и v > 0
такие, что
Колмогоров предполагал, что Hq и Р аналитические и гессиан нигде
что сохраняется любой инвариантный тор с вектором вращения,
удовлетворяющим диофантову условию. Это означает, что для малых е
гамильтонова система Hq + еР имеет инвариантный тор, и ограничение на тор
потока, порождаемого Hq + еР, аналитически сопряжено с потоком Кронекера,
определенным вектором вращения и>°. Кроме того, тор является
аналитическим и аналитически зависит от ? и то же самое выполняется для
сопряженного с потоком Кронекера ограничения потока.
Траектория, которая лежит на инвариантном торе является ква-
зипериодической (и наоборот). Существует большое количество инвариантных
торов с векторами вращения, удовлетворяющими диофантову условию. На самом
деле, если диофантов показатель v больше, чем п, тогда почти каждый
вектор из0 ? Ж" удовлетворяет условию (3) при некотором диофантовом
коэффициенте С > 0, а, следовательно, о дНо
из' = ------ удовлетворяет диофантову условию с показателем
и для
31(1°)
почти всех 10 ? Вп, ввиду колмогоровского условия невырожденности
для возмущенной системы существует большое количество инвариантных торов,
что подтверждает замечание Вейерштрасса о доказательстве Пуанкаре.
Колмогоров рассказал об этом результате в своем докладе [10] на
международном математическом конгрессе в Амстердаме в 1954 году. Однако
он никогда не публиковал полного доказательства. Мозера попросили сделать
обзор [10] для Mathematical Reviews. Он рассказывает [14], что его
разочаровало то, что ни одна из работ Колмогорова ([9], [10]) не
содержала доказательства его результата, представленного в работе [9]. Он
написал Колмогорову и попросил его прислать доказательство, но не получил
ответа, и поэтому отметил в своем обзоре, что существует лишь набросок
доказательства. Результат Колмогоро-
для всех m ? Z" \ 0.
(3)
не обращается
этих условия он доказал,
Таким образом, из теоремы Колмогорова следует, что
10
Дж. Н. Мезер
ва произвел на Мозера очень сильное впечатление, поскольку он имеет
отношение к задаче устойчивости эллиптических неподвижных точек
отображений, сохраняющих площадь, которую поставил перед Мозером К. JI.
Зигель.
Далее Мозер говорит, что поскольку у него не было доказательства
Колмогорова, он решил попытаться доказать теорему об инвариантных кривых
для закручивающих отображений, сохраняющих площадь. В 1961 году ему это
удалось, но в случае гладких, а не аналитических функций. Мозер говорит,
что русские ученые, наоборот, считали, что он обобщил теорему Колмогорова
со случая аналитических на случай гладких функций, и это было основным
достоинством его работы. Колмогоров и Арнольд тепло приветствовали
достижение Мозера, как рассказывают об этом Мозер и Арнольд в работах
[14] и [2]. По словам Арнольда, похоже, что обобщение Мозером результата
Колмогорова на случай гладких функций было совершенно неожиданным.
Действительно, в своем докладе на международном математическом конгрессе
в 1954 году Колмогоров сказал, что его теорема для дифференцируемых
