КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
производных от aSv\
Глава 2
85
Лемма 1. Если для любых векторов ? = (?i,... , ?,п), V =(*7i> • • • >
Vm), l?l = \v\ = выполнено неравенство
даМ
то для v ? V1
( О Е + foo|d|2)^, v) > 27 > 0, (1.3)
IMI? ^ Т(^ ")/ + с(1 + ||а||г + ||Ь||;)2 ,
где константа с зависит от j, от |w|2 и от верхней грани (|а|0 + |а|2 + +
|Ь|0 + |b|i) {где |а|2, |&|х суть максимумы норм производных порядков 2 u
1 соответственно1).
Доказательство этой леммы мы дадим ниже (см. §5). Здесь мы заметим
только, что при I = 0 формула (1.3) следует из (1.1). Формулу (1.3) можно
записать сокращенно в символической форме
I (ах) + (Ьо) > 2т- (1-4)
Заметим, что для данных матриц а, Ь на торе эти условия могут быть
выполнены лишь для ограниченного множества значений /, за исключением
тривиального случая системы с постоянными коэффициентами. Чтобы доказать
это, заметим, что форма ^ *?> V
при некоторых х принимает отрицательные значения. В самом деле, из
периодичности следует, что интеграл от этой формы по тору при
фиксированных ? и г] равен нулю, т. е. найдется значение х, при котором
форма имеет отрицательное значение, за исключением того случая,
Вом /
когда ^- тождественно равны нулю (случаи системы с постоянными
С/Х ц
коэффициентами).
Это замечание показывает, что можно получить априорные оценки только для
конечного числа производных от v. Это объясняется не грубым характером
оценок, а соответствует тому явлению, что даже решение системы с
аналитическими коэффициентами может иметь лишь конечное число
производных.
1То есть, например, |а(ж)|2 = max
v,i,i
д 2a(v\x)
dxi dxj
Прим. перев.
86
Быстро сходящийся метод итераций
Простой пример такого рода можно получить при п = 1, то = 1, т. е. в
случае одного обыкновенного дифференциального уравнения на окружности
-их sina: + bu = (sina:) .
Это уравнение имеет единственное периодическое решение
"=-(tgf)>Т(С08?)"'1Д при 0 < я < 2ж,
\ 2 / J sint
тг/2
при х -> 0 эта функция ведет себя так же, как -схь log ж, и,
следовательно, производная порядка b не ограничена, а производная порядка
b + ^ не имеет интегрируемого квадрата.
Условие (1.4) означает в этом случае, что при всех х должно выполняться
неравенство - I cos х + {Ъ + ^cosa:) > 0. Это неравенство выполнено при I
< Ь + что согласуется с ожидаемым числом квадратично интегрируемых
производных.
§ 2. Нелинейные системы
В этом параграфе мы сформулируем теорему существования решений для
систем, которые являются нелинейным обобщением положительных симметричных
систем.
Мы ограничимся случаем дифференциальных уравнений на торе, и поэтому не
будет возникать никаких трудностей, связанных с граничными условиями.
Мы будем рассматривать системы уравнений вида
Fk(x,u,ux)= 0 (fc = 1, ...,то), (2.1)
где функции Fk(x, у, р) имеют период 27т по переменным х±, ... , хп и
имеют достаточно много производных при \у\ + |р| ^ 1, где У = (yi, ¦¦¦ ,
Ут), Р= {Pkv} (к = 1, ... , то; V = 1, ... , п). Компоненты
Pkv соответствуют частным производным
ОХи
Рассмотрим матрицы
(о), \ dFk dFi . . dFk
(к, I = 1, ... , т; v = 1, ... , n).
Глава 2
87
лл- д dFk dFi
Мы требуем заранее равенства частных производных -- = --от-
дры дрки
куда следует, что определенные таким образом матрицы aj^ симметричны.
Предположим, что нам известно приближенное решение1, скажем и = 0, и
выясним, при каких условиях можно утверждать, что данная система имеет
точное решение. Это задача о возмущениях, и мы будем считать, что
max \F(x, 0, 0)|
X
измеряет величину возмущения.
Пусть для некоторого I = l(n), I > max + 6, 15^, все производные от F
порядка не выше I ограничены одной и той же константой С при \у\ + |р| <
1 и при всех х.
Тогда наш основной результат формулируется следующим образом.
Теорема. Пусть для числа I, удовлетворяющего сформулированным выше
условиям, выполнено также условие
I (ах) + <Ьо) > 7 > 0 (2-2)
(см. (1.3)) при у = р = 0. Тогда существует константа е = е(п, С, j)
такая, что при
sup \F(x, 0, 0)| < е
X
система (2.1) имеет периодическое дважды непрерывно дифференцируемое
решение.
Доказательство этой теоремы состоит в применении общей теоремы из § 5
предыдущей главы.
Мы проверим выполнение основных предположений этой теоремы, которые
перечислены в п. а) § 5 гл. 1. Ниже будет показано, что решение и системы
(2.1) можно найти в заданной С1-окрестности нуля, если только е выбрано
достаточно малым. Тогда условия достаточно наложить только при у = р = 0,
так как из соображений непрерывности эти условия выполнены в окрестности,
которая содержит решение.
1В данном случае термин "приближенное решение" употребляется не в смысле
гл. 1, а означает просто, что Fy,(x, и, их) близки к 0 в какой-нибудь
норме. - Прим. перев.
88
Быстро сходящийся метод итераций
Мы покажем даже, что решение на самом деле можно найти в заданной С2-
окрестности нуля. В самом деле, из общего неравенства Соболева получаем
\^п -1 I2 ^ С I \^п -1 Но I \^п ^п - 1 ||г 5
где а = п2r 1 если г > ^ + 2, и в соответствии с (5.14)
