КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
доказано.
Из (5.14) имеем (если К0 достаточно велико)
если Ко достаточно велико, то все ип лежат в шаре ||гх - ио\\р, < 1 и мы
можем сузить область И в (5.1) до области ||гх - ио\\р, < 1,
IIм " Uo\\r < 00.
2 А/х /х Т 1
(А + 1)(/х + 1)/3 + А/х /х - А
Используя (5.9), имеем 2 А/х
2 А/х
1 _ /х + 1
А -(- 1 /х А /х + 1
п+1
п+1
||Ип+1||Г ^ 1Ы|Г + X] II
Uv - uv-1
ll^o + f
Тем самым доказана вторая половина (5.11).
Наконец, из неравенства ||г;|| , ^ IMIo Р ^ IMIr ^ П0ЛУчаем
ип ип - lWp1 ^ cK-i
п
Показатель степени отрицателен, если < -т-^-. Следовательно,
' А + к
82 Быстро сходящийся метод итераций
Если Ко достаточно велико, то
оо
IIм - ио|1о " и>"-111о < (5-20)
т=1
так что определено. Так как оператор непрерывно отображает
VC в G0, то из (5.14) следует, что $(и) = f. Ш
с) Рассмотрим теперь снова построение приближенного решения линейного
уравнения в применении к нашему случаю - оператора Lv = = $'(u)v, когда
требуется построить решение, удовлетворяющее условию (5.4). Достаточные
условия существования приближенного решения получены в § 3. Здесь мы
вкратце повторим результаты §3 для случая L = $'(и).
Очевидно, что оператор L зависит от выбора и. Мы потребуем поэтому, чтобы
для и 6 И, ЦиЦ,, ^ К\ выполнялись оценки
IMIo ^ iLv' V)o> IHIo ^ С ((Lv' V)x + К1 IMIo) 5 (5-21)
где с не зависит от и. Тогда соображения, изложенные в § 3, позволяют
установить существование приближенных решений, удовлетворяющих условию
(5.4).
Выполнение условий (5.21) будет установлено для некоторых
дифференциальных операторов в частных производных. Таким образом,
проверка условий (5.4) также сводится к априорным оценкам. Можно вместо
(5.21) рассматривать случай, когда дана априорная оценка
v
lo ^ (Lv, v)o, IMIs ^ с ({Lv, v)s +Kf |supi;|2) , (5.22)
и показать, что предыдущие выводы остаются в силе при условии, что
А > 2^? " > §• <5'23>
В самом деле, в конце §3 мы показали, что можно построить приближенное
решение, удовлетворяющее (5.4), если выполнено условие (3.11), т. е. если
||gi|0 ^ К-"/(2-").
В доказательстве теоремы используется существование приближенного решения
только при таких g. Это замечание окажется полезным в рассмотрениях гл.
2, где будет предполагаться только выполнение априорных оценок (5.22).
Глава 2
83
Глава 2
Положительные симметричные системы уравнений в частных производных
Мы покажем, как методы, развитые в гл. 1, применяются в теории
дифференциальных уравнений в частных производных при изучении класса так
называемых положительных симметричных систем, введенных Фридрихсом [14] в
связи с задачами управления. Такие системы могут быть эллиптическими в
одних областях и гиперболическими в других, как это происходит, например,
в задачах, связанных со сверхзвуковыми потоками газа. С другой стороны,
для этих уравнений имеют место некоторые оценки, которые позволяют
доказывать существование решений.
В этой главе мы будем исследовать такие системы в нелинейном случае,
применяя методы предыдущей главы. Основной особенностью нашего метода
является то, что мы обходимся без предварительного понятия слабого
решения, а строим решения с помощью аппроксимаций, которые сходятся в
каждой точке вместе с несколькими производными.
В линейном случае положительные симметричные системы определяются
следующим образом: пусть х = (xi, ... , хп) принадлежат некоторой
области, и(х) = (т, ... , ит) - вектор, а а^Цх) и Ь(х) - квадратные
матрицы порядка то. Общая система первого порядка в частных производных
имеет вид
Такая система называется положительной симметричной, если все матрицы
а^(х) симметричны, а матрица
§ 1. Линейные системы
П
П
(1.1)
положительно определена. Нужно наложить еще граничные условия, но мы
будем изучать простую задачу, в которой предполагается, что
84
Быстро сходящийся метод итераций
a^v\x), Ь(х), f(x) и искомое решение и(х) имеют период, равный, скажем,
2ж по всем переменным х±, ... , хп. Можно сказать, что мы рассматриваем
задачу на торе. Название "положительные симметричные" имеет, например,
следующее оправдание: при сделанных выше предположениях квадратичная
форма
где интегрирование ведется по тору Г2: 0 ^ xv ^ 27т, v = 1, ... , п,
положительно определена.
В самом деле, интегрирование по частям дает
и в силу (1.1) подынтегральное выражение положительно. Введем матрицу
С помощью этой матрицы систему можно записать в такой форме (следуя
Фридрихсу):
которая показывает, что первый член антисимметричен1 и поэтому не влияет
на квадратичную форму (и, Lu).
положительность системы существенно зависит от b и только от первых
Установим некоторые нужные для дальнейшего априорные оценки высших
производных, т. е. оценки снизу для скалярных произведений (Lu, u)i, при
достаточно больших целых значениях I. В особенности нас будет
интересовать то, как эти оценки зависят от высших производных от
коэффициентов системы.
хКак оператор в пространстве функций на торе. - Прим. перев.
(1.2)
В отличие от типа системы, который определяется матрицами cSv\
