Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 26

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 136 >> Следующая

соотношениями
0<А + 1< |(// + 1), (5.8)
О <Ц< * (5.9)
А + 1 // + 1 V ц + 1 )
Здесь /3 - константа, фигурирующая в неравенстве (5.6).
Теорема. Пусть $(и) удовлетворяет условиям, перечисленным в п. а). Тогда
существует константа Ко(М, /3, //., А) > 1 такая, что если
II/-/olio <КоХ, \\и0\\г<к и \\f\\s^MK0, (5.10)
то можно построить последовательность приближенных решений
ип € А1 уравнения $(и) = f, для которых
\\$(ип) ~ f\\0 < К~х, \\ип\\г<Кп, где Кп ->• оо. (5.11)
78
Быстро сходящийся метод итераций
Последовательность ип сходится к элементу и в норме пространства Vp ,
если р' удовлетворяет неравенству
р' " Л
Л + 1
Т < т4т- (5Л1')
Предполагая, что $(и) непрерывно отображает Vp в G0, получаем, что $(и) =
/, т. е. и - точное решение.
Замечание. Сходимость построенной последовательности оказывается более
быстрой, чем линейная, так как неравенство (5.11) будет доказано для
последовательности Кп, определяемой рекуррентным соотношением
= Кп+1, где х> (l- j > 1. (5.12)
Полезно отметить, что для проверки существования приближенных решений
достаточно иметь оценки для производных от но до некоторого порядка р <
г. Если, например, 5(н) - оператор, задаваемый системой дифференциальных
уравнений в частных производных первого порядка, и имеет место оценка
1Ши) - з'МНо ^с' ii"- "Ik >
то для существования приближенных решений достаточно потребовать
выполнения условия
||/-/о||0^-\ ||н||"<1 (5.13)
при достаточно большом К и некотором р, удовлетворяющем неравенству
А < '-.
г - р
Чтобы установить это, аппроксимируем но элементом и 6 Vr, удовлетворяющим
неравенствам
Р-1 11-11 ^ "1.Р-Г
U
- н011х < chp , ||u||r < chp
где число h < 1 определяется формулой c'chp = К . Тогда ||/ - 5(н)||0 ^ ^
2К~х, ||м|| ^ с"Ка, где а > 1. Выбрав К достаточно большим, видим, что
условия (5.10) выполнены, если взять ни / = 5(н) вместо но и /о.
Доказательство.
Построение приближенных решений ип мы будем вести по индукции. А именно,
мы будем строить последовательность ип, удовлетворяющую неравенствам
Глава 1
79
где Кп = К^_х с некоторым показателем х, 1 < х < 2. При п = 0 первое из
неравенств (5.14) выполнено, а два остальных не имеют смысла, так как
элемент и_i не определяется. Предположим теперь, что найдены щ, ... , ип,
удовлетворяющие неравенствам (5.14), и найдем ип+ Из третьего неравенства
получаем
если, конечно, Ко выбрано достаточно большим1.
В силу (5.3) ||3("?i)||8 < МКп. Следующее приближение ип+1 мы будем
строить в виде ип+1 = ип + v, где v - приближенное решение
линеаризованного уравнения
Положив в (5.4) g = f-$(un), и = ип, видим, что существует элемент v,
удовлетворяющий условиям2
1 Выбор Ко зависит от значений х, х будет выбрано в дальнейшем как
функция от д, Л, /3.
2Мы воспользовались здесь тем, что в силу (5.3) и (5.10) g = / - $(ип)
удовле-
п
||Ип||г - 11"О 11 т + 'У ' ll^llr | 1"I/ 1 11 т* <
^ IK||г "Ь ^ ) W^v "г,-1 ||г ^ Ко "Ь 2 'у , кv <С Кп,
$'(un)v +$(ип) = /.
II3" + 3("") - /||о ^ 2MKnQ-",
(5.15)
(5.16)
"11,. ^ 2KnQ,
"Но < НЗЫ - /||о + 2KnMQ-" ^ К~х + 2MKnQ~r
Выберем Q настолько большим, чтобы
2MKnQ~" < К~х
(5.17)
творяет условиям ||g-||0 < К А ^ 1, ||gi|s ^ IISfarOIL+ II/IL ^ М(К"+К0)
^ 2МК,
80
Быстро сходящийся метод итераций
и, следовательно,
||^п+1 Moll |М|0 ^ '
т. е. второе из неравенств (5.14) выполнено. Также и третье из неравенств
(5.14) немедленно следует из (5.16), если Q выбрано так, что
2MKnQ < \кп+1. (5.18)
Проверим, наконец, выполнение первого из неравенств (5.14). В силу (5.15)
и (5.16) имеем
Шип-н) - /||о = \\$(un +v)~ /||0 =
= Ши") +$'(un)v + 0(u", v) - /||0 < с (KnQ~" + K-^2~P\KnQ f) ,
где с > М зависит только от М и от показателей /г, Л и /3. Теорема будет
доказана, если нам удастся выбрать Q так, чтобы одновременно выполнялись
неравенства (5.17), (5.18) и
с (KnQ~" +K^2~V(KnQ f) < Щ
А
п+1 *
Так как Кп+1 > Кп, то из последнего неравенства, очевидно, следует
неравенство (5.17). Поэтому достаточно найти Q, удовлетворяющее трем
неравенствам:
cKnQ < Кп+1, c(KnQ)PK^2-n < ЛГ-Д, cKnQ~" < Кх+1.
(5.19)
Первые два неравенства дают для Q оценку сверху, а последнее неравенство
- оценку снизу. Воспользовавшись равенством Кп+1 = К%, получим из первого
и третьего неравенств оценки для Q через Кп
Q < К*с~х, Q >
Так как Кп достаточно велико, то для совместности этой системы до-
1 ж\ -(-1 ж Р- Т 1
статочно выполнения неравенства к - 1 > -- или -< V .
р яг-1А + 1
Подставляя первую оценку для Q во второе из неравенств (5.19) и снова
учитывая, что Кп достаточно велико, получим, что это неравенство
Глава 1
81
2-к ^
выполнено, если только --- >
7 УС
ства эквивалентны следующим:
А + 1 А* + 1 ~Х
/3. Два полученных неравен
Г А (А + 1)(/х + 1)/3 + А/х
Существование решения у этих неравенств, очевидно, следует из
существования решения у неравенства
Таким образом, неравенства (5.19) выполнены, если только Ко выбрано
достаточно большим; К0 зависит от М, /х, А, /3. Следовательно,
существование последовательности ип, удовлетворяющей неравенствам (5.14),
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed