Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 25

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 136 >> Следующая

Так как оператор PN переводит все пространство V0 в конечномерное
подпространство, уравнение (4.4) можно рассматривать как систему
конечного числа линейных алгебраических уравнений, причем число
неизвестных равно числу уравнений. Для разрешимости этой системы
достаточно, чтобы определитель был отличен от нуля или, что то же самое,
чтобы соответствующая однородная система имела только нулевое решение.
Из (4.2) вытекает, что ||щ||0 ^ (v, Lv)о = (PNv, Lv)0 = (v, g)о и,
следовательно,
IMIo^lMllo- (4-5)
Глава 1
75
Оценим порядок аппроксимации. Из (4.1') и (4.2) находим
IMI? ^ {Nr~s IMIJ2 < TV2(r_s)c ((", g). + К\ ||"||S) .
Оценивая правую часть неравенства с помощью неравенства Шварца, получаем
1М1Г ^ cNr~sK, если только К ^ К\. (4.6)
Остается оценить ||Lv - ^||0. Заметим, что Lv - g ортогонально к
подпространству HN, и поэтому в силу (4.1) имеет место оценка
||Lv - g\\0 < N~° ||Lv - g\\e ^ N~° (||L"||e + ||g||8).
Используя (4.3) и (4.6), получаем
IILv - g\\Q ^ N~s(cc\Nr~sK + K)^ c2KNr~2s, (4.7)
если s<r<2suN>l. Таким образом, из (4.7) следует, что v является
приближенным решением с порядком аппроксимации
/I = ^-j-, если s < г <2s. (4.8)
Например, g = s - 1 при г = s + 1.
Полученные нами результаты показывают, что задача построения
приближенного решения сводится к конечномерным задачам, если только
множество ||и|| ^ 1 компактно в V0; это имеет место, например,
в случае пространств функций на компактных многообразиях, где нормы
вводятся аналогично тому, как мы вводили их на торе.
§ 5. Нелинейный случай
а) В этом параграфе мы покажем, как можно использовать понятие
приближенного решения для построения точных решений нелинейных уравнений.
Мы будем рассматривать оператор З'(м), определенный в окрестности
элемента щ. Полученные результаты в дальнейшем будут применяться в
основном в случае дифференциальных уравнений в частных производных
положительного типа, но мы сформулируем результаты в более общей форме,
чем потребуется для этих приложений.
Одним из результатов такого рода является теорема типа теоремы об
обратной функции, устанавливающая существование в окрестности элемента щ
решения и уравнения $(и) = /, если / близко к JJ(wo) = /о-
76
Быстро сходящийся метод итераций
Этот факт будет доказан в предположении, что линеаризованное урав-
Н6НИе ff("+ *")"*(") ,
1---------------=3(u)v = g
имеет приближенные решения, причем не только при и = щ, но при любом и,
близком к щ. Дадим точную формулировку этого результата. Пусть Vr, V0 -
функциональные пространства, определенные в § 1, и пусть и € Vr.
Обозначим область
IIи - Moll < 1 (5.1)
через П.1 Предположим, что оператор JJ(w) определен во всей области П и,
если и € П, то
\ Ши) - fo\\0 < м, fo=$(uo)eGs,
\ 1№) - /о||в < оо (0 < s < г),
IlS'Mllg ^ МК, если \\и\\г<К (5.3)
для любого К > 1. Предположим также, что для любого iigil существует
производный оператор У (и), определяемый формулой
$'(u)v = lim J ($(и + tv) - $(и)),
t-У оо С
причем $'(u)v € Gs для любого v € Vr. Пусть линеаризованное уравнение
$'(u)v = g имеет приближенное решение в следующем смысле. Если g ? Gs,
||gi|0 ^ I,2 ||g-||s ^ К и ||м||г < К, то для любого Q > 1 существует
элемент v 6 Vr такой, что3'4
\\$'(u)v-g\\0<:KQ-", ||м||г ^ KQ, (5.4)
II^^HIo ^ IHIo • (5-5)
1В дальнейших приложениях мы заменим условие (5.1) условием ||w -гго||^ +
+ ||и - uollo < 1 ПРИ некотором р > 0.
2Это условие можно ослабить, заменив следующим Н^Цд < где число Л
определяется ниже.
3Из этих предположений не следует единственность решения уравнения ff(u)v
= g-, так как оценка (5.5) должна выполняться лишь для данного
приближенного решения, а не для всех v Е Vr. Мы нормировали единицей
коэффициент в правой части (5.5), так как этого всегда можно достигнуть,
умножая $ на постоянный множитель.
4Если из каких-то соображений известно значение линеаризованного операто-
ра (и) = Loo в неизвестном решении и, то достаточно наложить эти условия
на Loo- (По-видимому, имеется в виду, что с помощью одного оператора Loo
можно построить сходящуюся последовательность приближений, если известно,
что и существует. - Прим. перев.)
Глава 1
77
Предположим, наконец, что квадратичная часть оператора ?}(u, v) = $(и 4-
и) - З'(и) -
допускает оценку
||?}(и, ")||о ^ M||t)||o_/3||t)||f (0 ^ /3 < 1) (5.6)
при и € П, ц € П1-, если ||ц||0 |М| .
Ь) Мы докажем разрешимость уравнения 3"(и) = / относительно и, если /
близко к /о = JJ(wo) и выполнены все предположения п. а). По аналогии с
линейным случаем мы будем говорить о приближенном решении этой задачи,
если для любого К > 1 существует и = ик € П, удовлетворяющее условиям
Ши)-/\\0<К-\ \\и\\г<К, (5.7)
и будем называть Л порядком аппроксимации.
Цель формулируемой ниже теоремы состоит в том, чтобы показать, что
существование приближенного решения линеаризованного уравнения с порядком
аппроксимации ц можно использовать для построения приближенного решения
нелинейного уравнения с порядком аппроксимации Л, где ц и Л связаны
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed