КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
g = 2а. (3.7)
Для этого применим оценку (3.2) и получим
h2a\\w\\l + |И|о ^ (Lhw, w)о = (g, w)о ^ | (j|gi|o + ||w||o) ,
откуда следует, что \\w\\Q ^ Collgllo* Аналогично находим для старших
производных
h2a IHIa+s + INIs ^ C (iLhW, w)e + K\ IHIo) ^
^ | (ikll* + с21Ы1*) + cK\ Ikllo •
Следовательно,
h2a \\w\\2a+s + | |M|2 ^ c2(K2 + K2) < 2c2K2,
считая, что К K\. Таким образом, получаем ||w|la+s ^ c'h~°'K, ||w||s ^
с'К, и так как r = s + l^s + a, из (1.3) получаем
IMIr ^ c\h~1K. (3.8)
Из (3.6) вытекает, что ||(-Д)"ш||0 = ||w||2q, ^ с2К. Следовательно,
||Lw - g\\0 = h2a ||(-Д)"ш||0 ^ c2Kh2a. (3.9)
72
Быстро сходящийся метод итераций
Соотношения (3.8) и (3.9) показывают, что w является приближенным
решением уравнения Lv = g в смысле (3.1). Положив Q =
имеем r](Q) = C2C2aQ~2a.
Если s - четное число, наибольший порядок аппроксимации получается при а
= тогда ц = s. При нечетном s можно взять а = s ^ и получить ц = s - 1.
d) Рассмотрим теперь ситуацию, когда оператор L удовлетворяет
неравенствам, аналогичным (3.2) с той лишь разницей, что выражение Ki
IMIo во второй из формул (3.2) заменяется на К\ |u|q (где |г>|0 = = sup
|г>|), т. е. если имеют место неравенства
IMIo ^ v)o, IMI* ^ c({Lv, v)s +Kl\v\l). (3.10)
Мы покажем, что в этом случае также можно построить приближенные решения
линейного уравнения Lv = g, удовлетворяющие соотношениям (3.1) при
условии, что
|Ы1о ^ ЛГ"/(2'-п), \\g\\,^K, *>§. (3.11)
Для доказательства мы снова будем строить w как решение уравнения LhW =
g. Нужно только показать, что выполнены соотношения (3.1). Это
доказывается так же, как и выше, если мы докажем предварительно, что
дополнительный член К2 |u|q оценивается величиной К2. Другими словами,
нам нужно доказать, что из (3.11) следует неравенство
К\ И0 ^ К для К > ch. (3-12)
Для доказательства заметим, что имеют место оценки
IMIlo ^ ColMllo,
IMII* ^ c((Lhw, w)e+Kf\w\l) ^ |(||w|ls +c2\\g\\2s) + cK2\w\q, которые
получаются так же, как в п. с). Следовательно,
IMIL ^ ci (IMIL +Ki Mlo). (3.13)
Мы будем пользоваться этими оценками в сочетании с общим неравен-
1 - -
ством Соболева |w|0 С2 |М||0 2* |М||** при s > Получаем
п, И
М10^2 (СО Iloilo) 2S ||^|U2S •
Глава 1
73
Используем теперь неравенства (3.11) и (3.13)
п
Здесь сз - некоторая новая константа. Предположим, что соотношение (3.12)
не выполнено. Тогда
если только К > 2c3_ftTi. Но это неравенство противоречиво.
Следовательно, соотношение (3.12) справедливо при с = 2сз.
а) Мы опишем теперь второй метод построения приближенных решений,
называемый методом Галёркина. Этот метод имеет то преимущество, что
сводит рассматриваемую задачу к конечномерной задаче. А именно, в
качестве приближенного решения уравнения Ьи = / берется решение этого
уравнения, спроектированного на некоторое конечномерное пространство.
Предположим, что множество ||и|| 1 ком-
пактно в пространстве V0 (это предположение, конечно, выполняется для
пространств Соболева на торе). Мы можем поэтому представить скалярное
произведение (v, w)о в виде (v, w)о = (v, Rw)r, где R - симметричный
вполне непрерывный оператор1. Пусть N ^ 1. Обозначим через HN
инвариантное подпространство оператора R, порожденное собственными
векторами с такими собственными значениями А, для которых |А| > N~r, HN -
конечномерное пространство, причем
\\v\\o ^ N~r \\v\\r при veHN и |Н|0 ^ N~r |Н|Г при v е H1/N.
Обозначим через PN оператор ортогонального проектирования на HN в
пространстве V°. Тогда
1 Чтобы избежать трудностей, связанных с существованием элементов, для
которых ||и|| = 0 (таких как постоянные функции на торе),
мы будем рассматривать
только ортогональные дополнения к множеству таких элементов.
п
§ 4. Метод Галёркина
\\PNv\\r^Nr\\PNv\\0,
(I - PjvHIo < N-r ||(7 - Р^)"||г ^ N~r |M|r .
(4.1)
74 Быстро сходящийся метод итераций
Так как оператор pjv коммутирует с оператором дифференцирования, имеем
также
^г_в 1М.> IK7-p*HI0^_i(J-p*HL- (4Л')
Операторы pjv образуют семейство коммутирующих самосопряженных
проекторов, удовлетворяющих условию PnPn' = Pjq при N' > N.
В пространстве Соболева на торе образом оператора pjv является некоторое
пространство тригонометрических полиномов. Ясно, что аналогичные
операторы на сфере будут проектировать V0 на подпространство, порожденное
первыми сферическими функциями, а на произвольном замкнутом многообразии
- на подпространство, порожденное первыми собственными функциями
оператора Лапласа-Бельтрами.
Ь) Приступим теперь к построению приближенных решений линейного
уравнения Lv = g. В § 1 было показано, что в случае L = I - тождественный
оператор, приближенные решения уравнения Lv = g задаются формулой v =
PNg.
Аналогичным образом строится приближенное решение уравнения Lv = g, если
оператор L удовлетворяет следующим неравенствам:
IMIo ^ рМо, IMIs ^ с (К Lv)x + Ki IMIo) (4-2)
и
II-HI* ^ МММ (4-3)
Пусть \\g\\s ^ К, 11 g\ 10 ^ 1* Пусть v = vN Е HN - решение линейного
уравнения
PN(Lv-g) = 0. (4.4)
