Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 22

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 136 >> Следующая

0) Если v ? Vp и ||щ| элемент w ? Vr такой, что
\\v - w\\0 0 cKQ-0 \\w\\r0KQ, (2.2)
p
где с зависит только от п, г, р и ц = ^ _ .
Обратно, если v ? У0 и удовлетворяет неравенствам (2.2) при не-
/
котором w & Vr и К 0 IHIo, то w ? , где у- < --г.
f-L "Ь 1
b) Очевидно, что пространства векторнозначных функций на торе
2 ш 2
v = (щ, ... , ит), для которых ||и||р = Y, 1КНР> гДе 1КНР определя-
и=1
ется формулами (1.2), удовлетворяют всем сформулированным выше
требованиям.
Более интересный пример возникает, если рассмотреть пару норм
Л
т "
IMI, = / v(-A)rvdx.
p=i J
Пусть V0 состоит из всех непрерывных функций с нормой |и|0,
/ 2 2\ 1/2 аГ - из функций с нормой I ||и||г + |Н|0)
Как определить теперь пространство Vp для промежуточных значений р? Мы
сделаем это только для целых р, 0 < р < г. Положим ||ti|| равной
выражению, стоящему в левой части неравенства
ч р/2г
| Dpxv^lpdx\ (2.3)
w
1Как и в частном случае, рассмотренном в § 1, выражение ||v|| может не
быть строго положительно определенным. - Прим. перев.
66 Быстро сходящийся метод итераций
где верхняя грань берется по всем производным Dp порядка р от всех
компонент вектор-функции v. Константа с зависит только от г, р, п.
Неравенство (2.3), из которого следует, что норма ||и|| удовлетворяет
соотношению (2.1), является частным случаем одной общей теоремы
Л.Ниренберга [21], см. также [22].
с) Неравенство (2.3) позволяет оценивать норму суперпозиции двух
функций. Пусть ip = <р(х, у) - функция, определенная при
2 т
y=(yi,... ,ут) с условием |у| = X у1< 1 и при всех х=(х1,... ,хп)
р=1
и периодическая с периодом 27т по аргументам х\, ... , хп.
Лемма. Допустим, что ip имеет частные производные до порядка г
включительно, ограниченные общей константой В. Тогда для ip о v = <р(х,
v(x)) имеет место оценка
\\<Р ° v\\r ^ сЯ(|Н|г + 1) (2.4)
при условии, что v € Vr и тах|г>| = |г>|п < 1.
X
Замечание. Эта оценка показывает, что с ростом ||г>|| норма ||у? о г?||
растет не быстрее, чем линейно, что на первый взгляд не кажется
очевидным.
Доказательство.
Достаточно доказать неравенство (2.4) для скалярных функций класса С°°.
Обозначая через Dp любую частную производную по аргументам xi, ... , хп
порядка р, мы можем найти производную от сложной функции
Drx{<pov)= Y, (n:^)'?c'rp'*(Dv)a4D2vr...(Drv)ar, (2.5)
p+a-^r ' ^ ' а
где сара - константы, а ар ... , аг - неотрицательные целые числа,
удовлетворяющие соотношениям
"1 + ... + аг = а, "1 + 2а3 + ... + гаг + а = г. (2-6)
Эти соотношения можно получить, вычисляя порядок дифференцирования по у и
по х. Для оценки интегралов от квадратов произведений, встречающихся в
правой части (2.5), применим неравенство Гёльдера. Положим
Г\р
Vo = "А = Dxv (A = !, ... , г) И Ро = а0 = 1, Р\ =
Глава 1 67
Получим из (2.6)
г
Л=0
Заметим, что значение р\ = ос допустимо. Из неравенства Гёль-дера
следует, что
/ п
J А=0
\ 1/рА
"2axdx ^ \v\\2axPx dx)
Первый сомножитель оценивается сверху величиной В2, второй сомножитель
оценивается с помощью формулы (2.3). В результате получаем
/
2а\
ГН
А=0 А=0
Это выражение можно упростить, так как |ц|0 < 1, а
^ Аал _ 1 _ а ^ 1
2^1 г ~ 1 г ^
так что правая часть неравенства меньше, чем В2сг ||щ||2 (если ||ц|| > 1)
или В2ст (если ||ц|| 1). Эта оценка справедлива для каждого слагае-
мого в сумме (2.5), следовательно,
\\v>°v\\2r ^ В2с( 1 + |Н|Г)
(с другой константой с). Таким образом, формула (2.4) доказана. ¦
Приведем еще одну аналогичную оценку, которая понадобится нам в
дальнейшем. Пусть ip(x, у, р) - функция, имеющая по аргументам Xi, ... ,
хп период 27г и определенная при значениях аргументов 2/1) • • •
) 2/т и р = 1, ... , т; v = 1, ...
, п, удовлетворяющих условиям: \уй\ < 1, \р^\ < 1.
Пусть, кроме того, функция ip имеет непрерывные частные производные по
всем переменным порядка до г - 1 включительно и все эти производные
ограничены константой В.
68
Быстро сходящийся метод итераций
Рассмотрим функцию ip(x, v, vx), которая получается подстановкой = v^,
= ^2. в (р, где функция v ? Vr удовлетворяет услови-
(/Жр
ям
Ы <
Тогда
II<р(х, v, г;ж)||т._1 ^ сВ( 1 + |Н|Г). (2.8)
Доказательство этого неравенства легко сводится к применению формулы
(2.4), если рассматривать v и vx как независимые функции.
§ 3. Приближенные решения линейных уравнений
а) Рассмотрим какие-нибудь два семейства пространств, удовлетворяющих
условиям а) и 0) из § 2: Vp (0 ^ р г) с нормами ||и|| для v ? Vp и G"7 (0
^ <т ^ s) с нормами Hg-Ц^ для g 6 G"7.
Пусть L - линейный оператор, отображающий пространство Vr в Gs. Обычно мы
будем иметь дело с дифференциальными операторами первого порядка. В таких
случаях можно было бы положить s = г - 1 и отождествить Gs и Vr~1. Однако
мы предпочитаем сохранить различные обозначения для области определения и
области значений дифференциального оператора.
В теории эллиптических дифференциальных уравнений доказательства
существования решений основываются на построении пространств, которые
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed