КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. Минимали без самопересечений.........................228
§ 5. Действие группы Zra+1 ...............................234
Глава 3. Сохранение и разрушение гладкого слоения.........240
§ 6. Теорема устойчивости.................................240
§ 7. Задача из механики...................................247
Глава 4. Альтернативный подход............................250
§ 8. Регуляризованная вариационная задача ................250
Литература................................................260
ТЕОРЕМА УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ МИНИМАЛЬНЫХ СЛОЕНИЙ НА
ТОРЕ..............................................262
§1. Введение..............................................262
§ 2. Регуляризованная вариационная задача ................273
§ 3. 7Гг-оценки для линеаризованного уравнения............282
§ 4. Доказательство теоремы 3.............................290
§ 5. Теорема единственности...............................301
§ 6. Квазипериодический случай............................304
ЛАГРАНЖЕВО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ОБ ИНВАРИАНТНОЙ КРИВОЙ ДЛЯ
ЗАКРУЧИВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
..............................................310
§1. Производящие функции..................................310
§ 2. Сведение к разностному уравнению ....................311
§ 3. Основная теорема.....................................313
§ 4. Гомологическое уравнение.............................315
§ 5. Решение гомологического уравнения....................317
§ 6. Квадратичная зависимость погрешности.................320
§ 7. Предельный переход...................................321
§ 8. Приложение ..........................................323
6
Содержание
МИНИМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ НА
ТОРЕ.................................................331
§1. Введение............................................331
§ 2. Минимальные решения на торе...................340
Приложение к § 2........................................347
§ 3. Компактность множества минимальных решений .... 349
§ 4. Пары минимальных решений ..........................354
Приложение к § 4........................................360
§ 5. Существование минимальных решений. Рациональный
вектор а ...........................................361
§ 6. Действие фундаментальной группы...............368
§ 7. Альтернативный вариационный принцип...........377
§ 8. Теорема устойчивости для минимальных слоений .... 380
О СОХРАНЕНИИ ПСЕВДОГОЛОМОРФНЫХ КРИВЫХ НА ПОЧТИ КОМПЛЕКСНОМ ТОРЕ (С
ДОБАВЛЕНИЯМИ ЮРГЕНА ПЁШЕЛЯ).......................................385
§1. Результаты. Открытые проблемы.......................385
§ 2. Почти комплексная структура на Т2п ................396
§ 3. Интегрируемый случай. Теорема Бангерта........398
§ 4. Плотные кривые. Свойства диофантовых аппроксимаций 403
§ 5. Схема доказательства основной теоремы.........407
§ 6. Четырехмерный тор Т4. Резонансный случай......415
§ 7. Доказательство теоремы Бангерта ...................421
§ 8. Приложение. Юрген Пешель (Jurgen Poschel).....426
Введение ко II тому избранных работ Юргена Мозера1
Джон Н. Мезер
Теория Исаака Ньютона о движении планет привела к возникновению многих
интересных математических задач. Возможно, самой тонкой и самой сложной
из них является задача об устойчивости движения планет. Рассматриваются п
малых точечных масс, движущихся по почти круговым орбитам вокруг большой
точечной массы. Будут ли планеты всегда оставаться на почти круговых
орбитах?
Работа Колмогорова, Арнольда и Мозера (КАМ-теория) является наиболее
важным продвижением в решении этой задачи с XVII столетия, когда она была
сформулирована. КАМ-теория также позволяет решить множество задач об
устойчивости движения в классической механике.
Статья "Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь"2
является одной из фундаментальных работ КАМ-теории. Она возникла в
результате усилий Мозера понять фундаментальную работу Колмогорова [9] и
решить задачу Дж. Д. Биркгофа. Мозер рассказывает в [14], что в то время,
когда он писал эту работу, ему еще не удалось достигнуть первой цели,
хотя он и преуспел со второй. Тем не менее, влияние работы [9] на эту
статью очевидно.
В дополнение к решению задачи Биркгофа Мозер обобщил результат
Колмогорова из случая аналитических на случай дифференцируемых функций,
хотя (а может потому что) не понял доказательства для случая
аналитической ситуации.
Задача об устойчивости движения в классической механике связана с малыми
возмущениями гамильтониана интегрируемой системы. В интегрируемой системе
общее решение является квазипериодичес-ким. В своей знаменитой работе
Пуанкаре показал, что это не выполняется для случая малых возмущений
интегрируемой системы, решив
1J.N. Mather, Introduction to volume II of Jurgen Moser's selected works.
Перев. с англ. А. Г. Арзамасцева под ред. А. В. Борисова.
2См. стр. 28.
8
Дж. Н. Мезер
тем самым задачу, поставленную Вейерштрассом. Тем не менее, Вей-ерштрасс
отметил, что доказательство Пуанкаре не исключает возможности
