КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
о том, что только комплексный тор может содержать голоморфный 2-тор.
Однако в нашей работе рассматриваются не только алгебраические торы,
кроме того, на торе могут не существовать непостоянные мероморфные
функции. Основной целью работы является второе утверждение.
3. Почти комплексная структура. Приведенный выше пример не является
типичным, поскольку Т4 задается как произведение двух двумерных торов.
Кроме того, мы будем рассматривать торы более высокой размерности с почти
комплексной структурой, близкой к интегрируемой комплексной структуре.
Определим, как обычно, почти комплексную структуру на гладком
многообразии М = М2п как гладкий линейный изоморфизм слоев
комплексных прямых на С2
или, если сг ф 0
ci-zi + c2z2 = const, (ci, c2) e C2 \ (0) L: Z2 = mzi + const,
(1.1)
(1.2)
J: TM ->• TM,
удовлетворяющий условию
J2 = -id.
§ 1. Результаты. Открытые проблемы
387
Для комплексного многообразия с локальными координатами (z 1, Z2, ... ,
zn) такой изоморфизм дается отображением
J: д/dzj ->¦ -id/dzj. (1.3)
Обратно, почти комплексное многообразие (М2п, J) является комплексным
многообразием тогда и только тогда, когда J удовлетворяет условию
интегрируемости
[JX, Y] + [X, JY] = J([X, Y] - [JX, JY]) (1.4)
для всех X, Y ? ТМ . Об этом гласит теорема Ньюландера (Newlander) и
Ниренберга (Nirenberg) [23]. В этом случае мы говорим об интегрируемой
комплексной структуре. В частности, для п = 1 эти условия выполняются
автоматически, то есть каждая почти комплексная поверхность является
римановой поверхностью.
Для тора М2п = M2n/Z2n можно использовать глобальные координаты х = (xi,
Х2, • • • , Х2п) в М2", чтобы описать J в терминах матрицы
определенной равенством
2 п
JdXv=Y^J^)dXfl, (1-5)
fl= 1
где Jvfl 6 С'00(М2п) имеет период 1 по всем координатам. Обычно J
отождествляется с этой матрицей.
Если матрица постоянная, то есть не зависит от х, то она
определяет интегрируемую комплексную структуру. Она может быть описана
более привычным способом как С"/Г, где Г - это решетка ранга 2п в С(tm). В
самом деле, можно диагонализировать J комплексной матрицей вида
т = (Ст, С~т),
где С = (Ckv), к = 1, ... , п, v = 1, ... , 2п - это (п х 2п)-матрица и
T~ljT = ("о'" ii) ¦ <L6>
Тогда
2 п
%к - ^ ^ CjmsXjs и=1
- это комплексные переменные, для которых выполнено (1.3). Кроме того,
решетка имеет вид
Г = С1?п. (1.7)
Для нас будет удобным зафиксировать решетку (Ъ2п) и варьировать
комплексную структуру.
388 О сохранении псевдоголоморфных кривых на почти комплексном торе
Заметим, что любая интегрируемая комплексная структура, близкая к
постоянной J, является сопряженной через диффеоморфизм тора к постоянной
комплексной структуре. Это следует из деформационной теории Кодаира
(Kodaira) и Спенсера (Spencer) [14]. Поскольку мы ограничиваемся
рассмотрением только тех J = J(x), которые С^-близки к постоянной
комплексной структуре, то мы можем отождествить интегрируемые комплексные
структуры с теми, что задаются постоянными матрицами.
Для п = 2 имеется глобальная теорема: любая интегрируемая комплексная
структура на Г4 является сопряженной к постоянной комплексной структуре.
Это следует из теоремы Кодаира [13], согласно которой любая компактная
комплексная поверхность с четным первым числом Бетти, равным 2т,
допускает т линейно независимых замкнутых голоморфных
1-форм. В нашем случае т = 2, и две замкнутые 1-формы обеспечивают
комплексные координаты в накрывающем пространстве М4, в терминах которых
комплексная структура имеет постоянные коэффициенты (этой ссылкой я
обязан Р. Нарасимхану (R. Narasimhan)). Между прочим, в работе [9] (см.
пример на с. 107) используются аналогичные рассуждения для того, чтобы
показать, что определенное параллелизу-емое четырехмерное многообразие не
допускает комплексной структуры; этот пример принадлежит С. Т. Яу
(S.T.Yau) (см. ссылку в [9]).
4. Псевдоголоморфные кривые, теорема Бангерта. Будем называть
подмногообразие Nr многообразия (М2п, J) псевдоголоморф-ным, или "/-
голоморфным, если J оставляет касательное пространство TNr С ТМ2п
инвариантным. Конечно, такое подмногообразие также является почти
комплексным со структурой
Jn J | j. дг,
в частности г является четным. В случае г = 2 мы говорим о псев-
доголоморфной кривой. Поскольку JN - это комплексная структура, то (N,
Jjy) - это риманова поверхность R. Зафиксируем риманову поверхность (R,
Jo) с ее комплексной структурой и определим параметризованную
псевдоголоморфную кривую как вложение
/: (R, Jo) -"¦ (М2п, J) с условием совместимости ,, т т
df Jo = J df
(1.8)
§ 1. Результаты. Открытые проблемы
389
Для наших целей достаточно рассмотреть случаи R = С, R = С* = = С \ (0)
или R = Т2 = С/Г со стандартной комплексной структурой. Простейший пример
задается постоянной J такой, что (Т2п, J) ~ С "/Г, а голоморфное
отображение /: С -"¦ С(tm) задается целыми функциями. Проекция этой кривой
на тор Т2п = С"/Г будет, вообще говоря, иметь самопересечения, т.е.
