КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
Т.к. Ug = -р-г тоже является решением эллиптического дифференте'
циального уравнения в частных производных, можно сделать вывод, что либо
Ug = 0, либо Ug > 0. Первый случай не может возникнуть, т.к. U(x, в + 1)
= U(x, в) + 1. Это завершает доказательство теоремы.
¦
Теперь можно изучить предел минималей U^ = U^e\x, в) при с -у 0, г > 0 и
показать, что предельная функция U^ минимизирует вариационный принцип
среди всех функций U с U - в € Tn1,2(T"+1), для которых U(x, в') ^ U(x,
в) при в' ^ в. Это обобщение вариационного принципа предложено Персивалем
[22], [23] и является основой работы Мезера. Преимущество этого подхода в
том, что он приемлем для всех а 6 М". Неважно, являются ati, "2, ... , ап
рационально независимыми или нет. В этой работе такой подход не
используется.
§ 8. Теорема устойчивости для минимальных
В этом параграфе без доказательств представлена теорема о возмущении для
минимальных слоений. Начнем с невозмущенной функции Лагранжа F° = F°(x,
и, р), для которой и = а • х + /3 для фиксированного а 6 К" и всех /3 ? Ж
является экстремалью, т. е.
Q
слоений
/ 71
+ avdg)Fpv(x, в, а) = F°(x, в, а)
<
и=1
п
(8.1)
X fp"pSx' > 0 для всех С е к" \ (0).
, 1У,Ц = 1
§8. Теорема устойчивости для минимальных слоений
381
Например, если F° = F°(p) не зависит от и, р, это справедливо для всех а
6 М(tm). Спрашивается, существует ли для малых возмущений
и фиксированного а гладкое слоение, принадлежащее тому же а. Это задача о
"малых знаменателях", и результат, приведенный ниже, можно рассматривать
как обобщение теории существования инвариантных торов вблизи
интегрируемых Гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. В
частности, а = (от, ... , ап) должны быть ограничены диофантовыми
неравенствами. Будем предполагать, что существуют положительные константы
со, т такие, что
для всех j 6 Zn+1 \ (0).
Пусть В = Вг(а) - открытый шар в 1" с центром а и пусть
Теорема 8.1. 1 Если F° = F°(x, и, р), G = G{x, и, р) удовлетворяет (8.1),
(8.3) и a (El М(tm) удовлетворяет (8.2), то существует ?о > 0 такое, что для
каждого е ? (-го, ?о) существует гладкая функция U = = U{x, в, е), где U
- в ? ^"(Т^1) и
F = F° +sG
(8.2)
F°, G ? ^"(T"-^1 x В).
(8.3)
IU - 0\qi-у 0 при ? -У 0,
такая, что для всех [3 ? М
и(х, 0) = U(x, а ¦ х + (3, е)
является решением уравнения Эйлера
П
F = F° +sG.
1Эта теорема была представлена в сентябре 1984 года на конференции
"Современные задачи в алгебре и анализе", проходившей в институте им.
Стеклова в Москве.
382 Минимальные решения вариационных задач на торе
Другими словами, и = и(х, (3) определяет гладкое минимальное слоение для
возмущенной задачи. Отметим, что
О
^ = Ug(x, а ¦ х + (3, е) -"¦ 1 при е ->¦ 0.
о
Отсюда ттт; > 0 для малых е. Следовательно, 3?(а) = Tn+1 в этом о(3
случае, если |ег| достаточно мал.
Можно рассматривать этот результат как теорему устойчивости слоения при
возмущении функции Лагранжа. Действительно, при преобразовании координат
(ж, хп+1) ->• (ж, и(Ж, Ж"+1))
невозмущенное слоение xn+i = а ¦ ж + (3 переходит в возмущенное слоение
жп+1 = и(ж, (3). Таким образом, можно сказать, что при предположениях
приведенной выше теоремы слоение сохраняется при малых возмущениях, и
кроме того, остается в том же классе сопряженности.
Доказательство этой теоремы (оно опубликовано в другом издании)
использует быстро сходящийся итерационный метод вместе с тонкими А2-
оценками аппроксимаций решения U = U(x, в) вырожденного дифференциального
уравнения в частных производных
П
T,D vFPu(x, U, DU) = Fu(ж, U, DU)
V=1
г> - & 4- JL " " dxv +avd0'
Литература
[1] M.Amann, М. G. Grandall, On Some Existence Theorems for Semi-linear
Elliptic Equations, Ind. Univ. Math. Journal 27, 1978, pp. 779-790 (see
esp. prop. 2 and its proof, pp. 788-789).
[2] S. Aubry, P. Y. Le Daeron, The discrete Frenkel-Kantorova model and
its extensions I. Exact results for the ground states, Physica, 8D, 1983,
pp. 381-422.
Литература
383
[3] V. Bangert, Mather Sets for Twist Maps and Geodesic Tori. Preprint,
Bonn, 1985.
[4] E. De Giorgi, Sulla dijferenziabilitd e I'analiticita degli integrali
mul-tipli regolari, Mem. Accad. Sci. Torino, Cl. Sci. Fis. Mat. Natur,
(3), №3, 1957, pp. 25-43.
[5] E. Di Benedetto, N. S. Trudinger, Harnack Inequality for Quasi-Minima
of Variational Integrals, Annales de l'Inst. H. Poincare, Analyse Non-
lineaire 1, 1984, pp. 295-308.
[6] G.Eisen, Ueber die Regularitat schwacher Losungen von Variations-
problemen mit Hindernissen und Integralbedingungen, preprint №512,
Sonderforschungsbereich 72, Universitat Bonn, 1982.
[7] M. Giaquinta, E. Giusti, Quasi-Minima, Ann. d'Inst. Henri Poincare,
Analyse non lin., 1, 1984, pp. 79-107.
[8] M. Giaquinta, E. Giusti, On the regularity of the minima of
variational integrals, Acta math., 148, 1982, pp. 31-46.
[9] M. Giaquinta, E. Giusti, Differentiability of Minima of Non-Differen-
tiable Functionals, Inv. math. 72, 1983, pp. 285-298.
