КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
Если U+{ж, в) > U~(ж, в), то интервал (U~(ж, в), U+(ж, в)) не содержит ни
одной предельной точки и(ж + j) - jn+i¦ Действительно, если j ¦ а - jn+1
проходит по возрастающей последовательности, стремящейся к в - а • ж, то
н(ж + j) - jn+i стремится к U~ (ж, в), а для убывающей последовательности
получаем U+(ж, 0). Это противоречит г), следовательно, из г) следует
ггг). Обратное следствие очевидно.
И наконец, iv) является просто переформулировкой теоремы 6.3. Только
необходимо заметить, что
(ж, в) ->¦ (ж, U+(x, в)) является гомеоморфизмом. Это следует из строгой
монотонности U+(ж, в), которая следует из строгой монотонности U(ж, 0) на
плотном множестве. Отметим, что случай, описанный в теореме 6.6 возникает
только если а не рациональный.
1Также, если F не зависит от и или не зависит от некоторых х" ф 0 и а" ф
О, то возникает только случай А.
374 Минимальные решения вариационных задач на торе
В случае, когда а не рациональный и и 6 Ж (а) плотна на Т"+1, имеем U+ =
U~ = U и
хп+1 = U(x, а • ж + /3) (6.7)
определяет слоение на Т"+1. Т.к. U(x, в) непрерывна и строго монотонна по
в для данного ж = (ж, xn+i) можно найти единственное /3 такое, что (6.7)
выполняется. Определим и(х, /3) = U(x, а • х + /3); по теореме 6.3 это
является минимальным решением Ж (а) для каждого /3. Определяем ф" = ф"(х,
xn+i) с помощью соотношения
фи{х, хп+\) = uXv{x, /3), если хп+1 = и(х, /3).
Тогда дифференциальное уравнение
их" = ФАХ, и) (6.8)
определяет слоение, чьими листами являются и = и(ж,/3), /3 6 М. Из
определения следует, что фи имеет период 1 по х\,... ,хп+\ и ф"? С(Тп+1).
Таким образом, (6.8) определяет слоение на Т"+1. По теореме 4.5 функции
ф" являются непрерывными по Липшицу по и. Т. к. и(х, /3) для всех
фиксированных /3 дважды непрерывно дифференцируема по х, получаем
следующий результат:
Теорема 6.7. Если и € Ж{а) является плотной на Tn+1 и а не рациональный,
то функции ф"(х, и), определяющие слоение (6.7), являются непрерывными по
Липшицу на Т"+1.
Доказательство.
Если х = (ж, хп+\), ж' = (ж', х'п+1) ? Mn+1, находим /3, /3' такие,
что
хп+1 = и(х, /3); х'п+1=и(х',13'), где и(х, /3) = U(x, а ¦ х + /3).
Используя вспомогательную точку у =
= (ж', и(х', /3)), по теореме 4.5 получим
\ф"(х') - ф"(х)I ^ Iф"(х') - Ф"(у)\ + \ФЛу) - ФЛх)\ Ф
ф 7|и(ж', /3') - и{ж', /3)| + \uXv(x', /3) - uXl/(x, /3)| ^
^ 7(1 х'п+1 - Хп+1| + \и(х, /3) - и(х', /3)1) + sup \ихх\\х' -
х\ ф
Ф 7\х'п+1 - хп+1\ + (sup |нж|7 + sup\ихх\)\х' - х\.
Благодаря периодичности, можно ограничиться |ж"| ^ i, v = 1,
2, ... , п + 1. Используя оценки (4.7), правую часть можно оценить с
помощью 7'|ж - ж'|, что завершает доказательство теоремы. ¦
§6. Действие фундаментальной группы 375
Отметим, что в этом случае решения и(х, /3) являются квазипе-риодическими
в том смысле, что существует функция U(x, в) = U - - в € Cl(Tn+1) такая,
что
и(х, /3) = а • х + /3 + U(x, а ¦ х + /3).
Более правильно говорить, что ехр(27гг и(х, /3)) является
квазипериодической, т. к. и даже не ограничена для а ф 0, но мы будем
полагать, что эта интерпретация понятна.
Вернемся к более интересному случаю В), в котором переносы tju от и € Ж
(а), удовлетворяющие (6.5), не являются плотными, когда а не
рациональный. По теореме 6.6 это равносильно предположению, что множество
s = {u(j) - jn+i, (з,дп+i)ezn+1j
не является плотным на М. Это множество можно рассматривать как орбиту,
проходящую через м(0) при действии коммутирующих переносов п, ... , тп и
rn+i: жп+1 -> хп+\ - 1. Рассмотрим предельное множество точек L(S) как
множество предельных точек для точек из S при \j\ -"¦ оо. Кроме того,
определим L+(S), L~(S) как множества s ? М, для которых существуют
убывающие и, соответственно, возрастающие последовательности ,Pm'1 € S,
которые стремятся к s при т -"¦ оо. Очевидно
L(S) = L+(S)UL~(S).
Хорошо известно, что L(S) - множество Кантора, совершенное, нигде не
плотное подмножество К, если, как мы сейчас предполагаем,
Из нашего определения (6.4) U±(x, в) имеем
L+(S) = {U+(0, в), в € Щ,
L-(S) = {U~(0,6), веЩ.
Действительно, если s(т') = u(j(m^) - j^l\ является возрастающей
последовательностью, стремящейся к з, тогда а ¦ j(m) - = в^ тоже
возрастает и если в^ -"¦ в, то
s= lim s(m) = lim t/(0, в{т)) = t/"(0, в).
m-too m-too
376 Минимальные решения вариационных задач на торе
Обратно, любое U~(0, в) принадлежит L~(S). То же доказательство подходит
и для L+(S).
Более обобщенно, определим предельное множество !? С М"+1 как множество
элементов (ж, ж"_ц), для которого жп+1 является пределом
и(х +j(m)) - j((tm)\, \j(m)\ -+ ос. С помощью !?+ и !? определим предельные
множества, где последовательности убывают и, соответственно, возрастают.
Если Еп+1 = {ж 6 Ж"+1, х = 0} обозначает ось xn+i, то !? = !?+ U !?~ и
L±{S)=X±r\En+1.
Кроме того,
= {(ж, ^(о, в)), в е М}.
Эти множества инвариантны при переносах ж->-ж+е", v = 1,2,... , п+1 и
могут рассматриваться как множества на торе Т"+1. !? - канторово
множество на Т"+1, если оно не равно Т(tm)+1.
