КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
Жрет(а) не имеет самопересечений, и т. к .и-а-х - периодическая, а
является вектором вращения для и. Остается показать, что
для произвольного (р 6 И^сотр, гДе является шаром, |ж| < R, содержащим
supp<?.
Для этого положим
для большого целого числа N. Тогда, согласно теореме 5.4, функцию и 6
Жрет(а) можно рассматривать как элемент Ж (а, Г'), т.е.
для всех ф € ТТ1,2(М"/Г') и 12' обозначает фундаментальную область К"/Г'.
Возьмем N настолько большое, что supp<? С В С 12', тогда (5.9) вытекает
из (5.10).
После того как мы показали, что Ж (а) не является пустым для рациональных
а (т.к. оно содержит Жрег(а)), несложно построить минимальные решения без
самопересечений для произвольного а.
и(х + у) = и(х) + а • 7 для всех 7 € Г,
1в(и + <р)Ф 1в(и)
(5.9)
Г' = NT = {7, 7N-1 е Г}
1(1' (и + ф) ф 1(1' (и)
(5.10)
368 Минимальные решения вариационных задач на торе
Теорема 5.6. При условиях (3.1) вариационная задача имеет минимальные
решения без самопересечений для всех заданных а € К", т. е.
Ж ( а) ф 0 для всех а ? М".
Доказательство.
Для данного а € К" положим А = |а| +1 и возьмем последовательность
рациональных а^8) 6 К" таких, что а^8) -"¦ а при s ->¦ ос. Возьмем 6
Жрег(а^) такую, что и^ 6 Ж а для больших s. По следствию 3.3 Ж a/Z
компактно, и существует подпоследовательность г/8") - mv, которая
сходится к элементу и € Жа в С|1-топологии на компактных множествах.
Согласно лемме 3.4 и 6 Ж {а). Ш
§ 6. Действие фундаментальной группы
Сначала рассмотрим решение с минимальной энергией и 6 Ж (а) в случае,
когда ад, аг, ... , ап, - 1 являются рационально независимыми, вследствие
чего и не допускает никаких периодов. В этом случае решения после
переноса
tju, j е zn+1
различаются, т. к. и не имеет самопересечений на торе Tn+1. Таким
образом, они приводят к упорядочению фундаментальной группы,
определенному с помощью tju < т^и. Следует отметить, что этот порядок не
зависит ни от решения, ни от вариационной задачи. Например, для F = \их\2
очевидно, что и= а • х принадлежит к Ж (а), и наше утверждение
равносильно следующему предложению
Tju < т^и тогда и только тогда, когда tju^ < т-^и^.
Иными словами, утверждается
Лемма 6.1. Если и 6 Ж (а) и ад, аг, ... , ап, -1 рационально независимы,
mo u(x + j) - jn+i < и(х + к) - кп+i, тогда и только тогда, когда j - a-
jn+1 < к - а - кп+1.
Доказательство.
Достаточно доказать это утверждение для х = 0 и j = 0 или
и(к) - и(0) > кп+1, если к ¦ а > кп+1.
(6.1)
§6. Действие фундаментальной группы
369
При использовании прежних обозначений отображение
тк: u(j) -+ u(j + к) для j е Ъп
имеет число вращений к • а, которое не является целым числом. Кроме того,
по следствию 4.4 это отображение тк является непрерывным по Липшицу на
множестве S = {u(j), j 6 Z"} и может быть продолжено по непрерывности до
S и, при определении его линейным на интервалах М \ S, продолжено до
отображения на М. Это продолжение монотонно, непрерывно, удовлетворяет
равенству rk(s + 1) = Tk(s) + 1 и тоже имеет число вращений к ¦ а. Хорошо
известно, что для целого числа g
g + 1 > Tk(s) - s > g тогда и только тогда, когда g+l>k-a>g,
что эквивалентно утверждению (6.1).
Семейство линейных функций
в = а - х + a- j - jn+1
отображается на переносы
Хп+1 = TjU = и(х + j) - jn+l
функции и 6 Ж (а) с помощью отображения
(х, в) -+ (х, и{х, в)), (6.2)
где U(x, в) определяется равенством
U(x, а ¦ х + j ¦ а - jn+i) = и(х + j) - jn+1 (6.3)
для плотных значений в = а ¦ х + j ¦ а - jn+i• Это определение
однозначно, т.к. ад, ... , ап, -1 рационально независимы. По лемме 6.1
функция U(x, в) монотонна по в, и поэтому может быть продолжена до
монотонных функций
U+(x, в) = lim U(x, в'), U~(x, в) = lim U(x, в"), (6.4)
V e,s^e V / в"у,в V ' V
где в', в" убывающая и, соответственно, возрастающая последовательности,
взятые из плотного множества, на котором определена U. Ясно, что для
фиксированного х имеем
U+(x, в) = U~{x, в)
370 Минимальные решения вариационных задач на торе
за исключением счетного множества, и разрывы лежат на гиперплоскостях в =
a-x+f}. В целом U+(x, в) U~(x, в) и U+, U~ непрерывны
тогда и только тогда, когда равны. ¦
Лемма 6.2. Определенные выше функции U+, U~ строго монотонны по в и
таковы, что
U±(x + е", в) = 17±{х, в),
^{х, в + 1) = ^{х, в) +1.
Поэтому отображения
(.X, в) -А (ж, I/* (ж, 6")) могут рассматриваться в качестве отображений
из Tn+1 на Tn+1.
Доказательство.
Вышеописанные условия периодичности непосредственно проверяются для U из
определения 6.3 и потому сохраняются для продолжений U±. Также очевидно,
что U± монотонны, они являются строго монотонными, т. к. U(x, в) строго
монотонна на плотном множестве {a-j -
~ jn+l}- Ш
Теперь отбросим условие, что от, ... , ап, -1 рационально независимы.
Если эти величины рационально зависимы, тогда в общем смысле отображение
(6.3) не вполне определено. Чтобы избежать подобных затруднений, построим
минимальное решение и с дополнительным свойством
и{х +j) -jn+l = и(х), если a-j-jn+1=0. (6.5)
