КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
Обратимся к построению минимальных подторов для произвольной вариационной
задачи (2.1), удовлетворяющей условиям (3.1). Зададим а = (ад, аг, ... ,
а") 6 К" с рациональными компонентами и подгруппу Г'
Г Г = {7еж", а • 7 6 Z} 1 dimT' = dimT = п.
жп+1 = и(х) = а ¦ х + и(х)
(5.4)
Ищем подторы с группой переносов
г' = {7 = (7) 7n+i) | 7 е Г'; 7n+i = а • 7}.
Иначе говоря, мы требуем, чтобы
и(х + 7) = и(х) для 7 6 Г'. (5-5)
Пусть 12' - фундаментальная область Ж(tm)/Г' и рассмотрим
и ? Wrll2(M'7r')> (5.6)
т. е. и удовлетворяет (5.5) и
(и2 + u2x)dx < 00.
/<
П1
Теорема 5.1. Для заданного рационального вектора а ? Ш.п и подгруппы Г' в
Г = {7 ? К", а • 7 = Z}, удовлетворяющих (5.4), существует элемент и* ?
ТТ1,2(М"/Г') такой, что и* = а-х + и* минимизирует
364 Минимальные решения вариационных задач на торе
в классе и таких, что и-а-х 6 TK1,2(ffi"/r), при условии, что F
удовлетворяет (3.1). Кроме того, и* € (72(М") удовлетворяет уравнению
Эйлера.
Доказательство.
Это стандартный результат, доказанный прямыми методами вариационного
исчисления, где компактность 12' играет важную роль. Для доказательства
существования необходимо лишь, чтобы F(x, и, р) удовлетворяла (2.2) и
условию выпуклости по р. Обратимся к главе 5 книги Ладыженской и
Уральцевой [15], где рассматривается краевая задача. Так как мы требуем
выполнения условий периодичности (5.5), то необходимо сделать
дополнительные замечания.
поэтому Iqi (и) ограничена снизу. Класс допустимых функций не является
пустым, т.к. к нему принадлежит и = а • х. Теперь выберем минимизирующую
последовательность
п1
ограничен. Можно заменить и на и + к, к € Z. Получим, что среднее
значение
Ввиду (2.2)
(5.7)
иш - OL ' х Т иш
так, что
I(v{um) inf In'(и).
Из (5.7) получаем, что
(5.8)
w
По неравенству Пуанкаре получаем
П'
где b обозначает диаметр 12'. Отсюда
j U2mdx ^ 2^12'l^m + b2 j \umx\2dx^j ^ 2(|12'| + b2c) = c'.
§5. Существование минимальных решений. Рациональный вектор а 365
Таким образом,
Н^тНтУ1.2(П') ^ с'
ограничена.
Выбирая подпоследовательность, которая слабо сходится в ТТ1,2(Г2') и
используя полунепрерывность снизу, получим искомую и* € ТТ1,2(Г2')
Для доказательства регулярности можно применить результаты гл. 6 в [15],
предположив выполнение условий (3.1). Фактически, т.к. Мт/Г' является
тором, можно забыть о гораздо более сложном доказательстве регулярности
на границе и рассматривать только "внутреннюю регулярность".
Давайте временно обозначим через Ж (а, Г') минимальные периодические
решения, соответствущие а, Г', которые минимизируют Iq*. Тогда:
Теорема 5.2. Множество Ж{а, Г') минимальных периодических решений и{х) =
а ¦ х + и(х) является вполне упорядоченным, т. е. если и, v € Ж {а, Г'),
то для всех х либо и(х) < v(x), либо и(х) > v(x), либо и(х) = v(x).
Доказательство.
Для и, v € Ж (а, Г') выполнено
где d обозначает минимум Iw(u) в этом классе функций. Положим
как и в [15], гл. 5.
{и(х) в А, v(x) в В,
{v(x) в А, и(х) в В,
где
А = {х € П', и(х) > v(x)} В = {х € И', и(х) ^ v(x)}.
Следовательно,
In'(w+) = 1А(и) + IB(v) Iq'{w~) = Ia(v) + 1в (и)
366 Минимальные решения вариационных задач на торе
и, складывая, получаем
In' (w+) + In' (w ) = Iq, (и) + Iq, (v) = 2d. Ввиду минимальности d также
Iqi(w±) d, получим, что
In'(w+) = I(v(w~) = d.
Т.к. w± принадлежит также к классу допустимых функций, то
w+, w~ 6 Ж (а, Г').
Используя доказательство леммы 4.2, из и ^ w+ получаем, что либо и < w+,
либо и = w+. Во втором случае v ^ и, следовательно, либо v < и, либо v =
и, как и утверждалось. В первом случае и < v, что завершает
доказательство теоремы. ¦
Следствие 5.3. Если и 6 Ж(а, Г'), то оно не имеет самопересечений.
Действительно, t-ju = u(x+j) - jn+1 также принадлежит Ж(а, Г'),
следовательно, либо tju > и, либо < и, либо = и.
Теорема 5.4. Ж(а, Г') = Ж(а, Г), где Г D Г' максимальна.
Следовательно, класс минимальных периодических орбит характеризуется
только с помощью а, поэтому с этого момента будем обозначать его Жрег{а).
Доказательство.
Заметим, что для и 6 Ж(а, Г') и 7 6 Г
тоже принадлежит к Ж(а, Г'). Действительно, 0-7 - целое число, и 7 6 Z".
Записав
v(x) = а ¦ х + v(x), имеем v(x) = и(х + 7), отсюда
v(x) = и(х + 7) - а • 7
§5. Существование минимальных решений. Рациональный вектор а 367
Следовательно, выражение v - и = v - и должно иметь нули, и по теореме
5.2 v = и или
доказывая, что и € Ж (а, Г). Кроме того, min{/fj/, Ж (а, Г')} =
Следствие 5.5. Жре г(а) С Ж (а).
Пока что элементы и в Жрет(а) характеризовались минимальностью
относительно класса и, для которого и-а-х имеет фиксированную
периодическую решетку, и не вполне очевидно, что они являются
минимальными решениями, по определению из параграфа 1. В этом смысл
приведенного выше следствия. Отметим, однако, что вышеприведенное
включение, в общем смысле, является собственным, и Ж (а) может включать
и, для которой и-а-х не является периодической.
Для того чтобы доказать следствие, отметим, что по следствию 5.3 и 6
