КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
В случае слоения минимальных поверхностей это доказательство было
использовано Б. Соломоном [25] (В. Solomon). Очевидно, наличие слоения не
является существенным, а эта оценка нужна нам для произвольных пар
минималей. К тому же, достаточно потребовать чтобы и, v были минимальными
решениями только в В.
Приложение к § 4
Для полноты изложения докажем простое следствие из принципа максимума в
том виде, в каком он использовался в лемме (4.2):
Лемма 4.6. Пусть ft - открытое и связное подмножество Мга, и пусть и ? С2
(ft) удовлетворяет эллиптическому дифференциальному уравнению в частных
производных
П П
Lu = ^ avlt(x)ux"Xli + ^2 bv(x)uXv + с(х)и = 0,
I/, /1 = 1 V=l
где коэффициенты являются непрерывными в ft и положи-
тельно определена.
Если и ^ 0 в 12, тогда либо и > 0, либо и = 0 в ft.
Доказательство.
Если с ^ 0, то доказательство непосредственно следует из сильного
принципа максимума Е.Хопфа (E.Hopf), т.к. тогда
П П
^ ( Ui//j,(x)uXj/X[i Т ^ ] Ьи(х)иХг/ ^ 0
и, ц=1 и= 1
и и ^ 0 в ft. Таким образом, если и принимает свое минимальное значение
0, то и тождественно равна нулю (см. [24], стр. 61).
Общий случай можно свести к этой ситуации стандартным способом. Допустим,
0 € О, и(0) = 0 и покажем, что и(х) = 0 для любых х ? ft. Достаточно
получить это для всех х в открытой области D С ft с компактным замыканием
в ft. Функция v = e~Xxi удовлетворяет эллиптическому дифференциальному
уравнению
0 = e~XxiL(eXxiv) = L(v),
§5. Существование минимальных решений. Рациональный вектор а 361
где L - дифференциальный оператор того же вида, что и L, с коэффициентами
avfl = avfl и
с = e~Xxi L(eXxiv) = ац(ж)Л2 + bi(x)\ + с(х).
Для достаточно больших Л получим с > 0 в D. Отсюда, если 0 ? D и D
связное, то v = 0, а следовательно, и и = 0 в D. ¦
§ 5. Существование минимальных решений. Рациональный вектор а.
Для того чтобы построить минимальные решения для данного вектора
вращения, начнем с рационального вектора а, т. е. вектора с рациональными
компонентами и построим первые минимальные подторы. Для других а ? К"
минимальные решения находятся аппроксимацией с помощью минимальных
решений с рациональными а.
Данному минимальному решению и сопоставим группу Г всех периодов 7 = (7,
7"+i), где 7 = (71, ... , уп), т.е. множество 7 ? Г, для которого
TjU = и(х + 7) - 7п+1 = и(х).
Это подгруппа Z(tm)+1, которая не содержит никаких точек на оси xn+i, кроме
начала координат. Поэтому diniz Г ^ п. Обозначим через Е наименьшее
линейное подпространство М"+1, содержащее Г такое, что diniR Е = diniz Г
^ п.
Ясно, что Г - подгруппа Z"+1 П Е, и мы будем называть Г "максимальной",
если Г = Z"+1 П Е. Очевидно, все Г содержатся в максимальной решетке, а
именно в Z"+1 П Е.
Если вектор вращения и обозначен а, то а = (а, -1) ? М"+1 ортогонален Е,
т. к. при 7 ? Г, т ? Z,
и(х) = и(х + ту) - myn+i = т{у • а - yn+i) + 0(1), т. е. 7 • а - уп+1 = 7
• а = 0 для всех у ? Г.
Более обобщенно, если Г является какой-либо подгруппой Z"+1, которая не
содержит никаких точек на оси xn+i, кроме начала координат, то dimT ( " и
Г имеет нормальный вектор вида а = (а, -1),
362 Минимальные решения вариационных задач на торе
т. е. содержится в гиперплоскости хп+\ = а-х. Обозначив через ж проекцию
7г(ж, xn+i) = х пространства М"+1 на К", рассмотрим группу Г = 7гГ. Из Г
и а получим
г = {т = (7) ln+i) е zn+1, 7 ? Г, 7"+i=7-a}.
Очевидно, что Г максимальна тогда и только тогда, когда Г максимальна.
В особом случае интеграла Дирихле минимальными решениями без
самопересечений являются линейные функции и = a-x+ft. Таким образом, для
заданного а 6 К" существует и 6 Ж. Также соответствующая решетка периодов
Г = {7 ? Zn+1, 7"+i =7 -а}
максимальна. Установим оба факта для общих вариационных задач на торе.
Перед тем как приступить к доказательству этих фактов, заметим, что
гиперплоскость
жп+1 = а • х + Р (5-1)
является плотной на торе T"+1 = M"+1/Z"+1 тогда и только тогда, когда
вектор а не рациональный, или, что равносильно, тогда и только тогда,
когда
dimT < п или dimT < п. (5-2)
С другой стороны, гиперплоскость (5.1) является подтором Т"+1 тогда и
только тогда, когда вектор а рациональный. То есть
dimT = п или dimT = п. (5-3)
В этом случае М"/Г = Т"(Г) является тором и для всех 7 6 Г
a - (x + j)+f3 = a- x + p + 7"+i,
т.к. 7"_|_i = а ¦ 7 ? Z.
Чтобы доказать, что гиперплоскость (5.1) плотна на торе Т"+1, если
выполняется (5.2), необходимо показать, что гиперплоскости
Хп-(-1 - OL'XFfdFOL'j jn+l
§5. Существование минимальных решений. Рациональный вектор а 363
являются плотными на М"+1, т.е. множество a-j- jn+i является плотным на
К1. Т.к. а не рационально, то существует как минимум один иррациональный
а", например ад, и хорошо известно, что множество {aiji - jn+i} является
плотным, что и доказывает наше утверждение.
Итак, запишем, что ад, ад, ... , ап, -1 рационально независимы тогда и
только тогда, когда
dimT = dimT = 0.
Этот случай мы обсудим в следующем параграфе.
