КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство.
Доказательство следует из неравенства Харнака в том виде, в котором оно
впервые было доказано Н. Трудингером [26]. Позднее Е. Ди Бенедетто и Н.
Трудингер [5] доказали такое неравенство Харнака для функций из класса Де
Джорджи. Хотя можно обойтись без этого глубокого результата, здесь его
удобно использовать.
Для этого зафиксируем и ? Ж, рассмотрим v как переменную и положим w = v
- и > 0. Очевидно, что w является минимальным решением для
(Fu(x, и Т w, их Т Fu(x, и, их))
П
П
v(x) - и(х) ^ 7(v(y) - и(у)) для всех х, у ? 3Q.
(4.1)
356
Минимальные решения вариационных задач на торе
Заменим эту вариационную задачу другой:
(4.2)
для которой w снова является минимальным решением. Для этого пусть
G(x, w, wx) = F(x, и + w, их + wx) - F(x, и, ux) -
где R(w) зависит только от граничных значений w, и, следовательно, не
влияет на свойство минимальности w. Итак, если w минималь задачи (4.1),
то то же самое верно для (4.2) и наоборот.
Так как и удовлетворяет уравнениям Эйлера, из (4.3) находим
G(x, w, wx) = F(x, и + w, их + wx) - F(x, и, ux) -
П
(4.3)
Тогда
Jv{w) = G(x, w, wx) = Iy(u + w) - Iy(u) + R(w),
П
0
n
n
где
l
о
l
Ь"(х) = J{l-t)FPvU(x, u + tw, ux + twx)dt о
l
c(x) = j (1 - t)Fuu(x, и + tw, ux + twx)dt. о
§4. Пары минимальных решений 357
Из предположения (3.1) iii) и теоремы (3.1) получим
^&\wx\2 - 7iw2 < G(x, w, wx) ^ <5_1|адж|2 + 7iw2 (4.4)
с некоторой положительной константой 71, зависящей только от с, S, А.
Вновь следуя идеям Джиквинты и Джиусти, видим, что любая ми-нималь w
задачи (4.2), где G удовлетворяет (4.4), также, как и - w удовлетворяет
неравенствам
J W2 ^ 721 2 J (w - k)2dx + к2\Ау(к, r)|j (4.5)
Ау(к,р) А у(к,г)
для всех вещественных к и для всех 0 < р < г, где снова
Aj(k, г) = {х 6 К(tm), |ж - у| < г, щ(ж) > fc}.
Константа 72 зависит только от с, S, А.
Предположение теоремы Ди Бенедетто и Трудингера заключается в том, что
функция w 6 W[q'c2(0), го^ОвЯи ±w удовлетворяют
j w2xdx < 731 j1 j (w - k)2dx+ \Av(k, r)|j (4.6)
Ay(k,p) Ay(k,r)
для всех вещественных к, 0 < р < г и для всех областей Ау(к, г), для
которых Ву (г) принадлежит О. Различие относительно (4.5) состоит в
замене к2 на (fc/r)2. Следовательно, если рассматривать только
ограниченную область, скажем О = 4Q, то радиус г шаров Ву(г),
принадлежащих О, ограничен. Например, здесь он ограничен величиной,
равной 2, и (4.6) следует из (4.5) при 73 = 472.
Теорема Ди Бенедетто и Трудингера утверждает, что любая функция w ?
W[q'c2(4Q), w ^ 0 в 4Q, для которой выполняется (4.6), в компактной
подобласти (например, в 3Q) удовлетворяет неравенству
w(x) ^ 74w(y) для х, у ? 2>Q
с константой 74, зависящей только от 73, т.е. только от с, 5, А. Теорема
4.3 доказана. ¦
358
Минимальные решения вариационных задач на торе
Следствие 4.4. Если и ? Ж а, пусть tv \ Sx Sx будут отображениями
определенным во втором параграфе. Тогда т" является непрерывной по
Липшицу и удовлетворяет
где 7 является константой из теоремы 4.3.
Это непосредственно следует из теоремы 4.3.
Таким образом, т" можно равномерно продолжить на замыкание Sx как
непрерывные по Липшицу отображения, и эти продолжения по-прежнему попарно
коммутируют.
В заключение этого параграфа рассмотрим еще одну оценку, которая выражает
непрерывность слоения по Липшицу и будет построена в шестом параграфе.
Для этого допустим, что третьи производные F являются непрерывными по
Гельдеру, т. е. (3.1) выполняется с I ^ 3.
Теорема 4.5. Если и, v ? Ж а и и < v в шаре В, то существует константа 7,
зависящая только от с, S и А такая, что
tv : и(х + j) - jn+1 ->• и(х + j + ev) - jn+1,
|t"(s2) - r"(si)| < 7|s2 - si I, v = 1, 2, ... , n,
Доказательство.
По теореме (3.1) в Ж(tm) выполнено
MCI.*, НсО.г ^ 71,
и по общему результату и ? С1'6, т. к. F ? С1'6 и
Мс2.', Мс2.' ^ 72,
(4.7)
см., например [15], стр. 336.
Так как и, v > и удовлетворяет уравнениям Эйлера
§4. Пары минимальных решений 359
то, вычитая, получим дифференциальное уравнение в частных производных для
w = v - и > 0:
п / п \ п
X ( X + bl'w ) " X bvwx" - cw = 0, (4.8)
где
Z/= 1 \fl = l / Z/=l
1
aVfl = J FPvPti (x, (1 - t)u + tv, (1 - t)ux + tvx)dt 0
1
J FPvU(...)dt 0
1
J Fuu(...)dt;
bv =
0
1
С =
0
где аргументы такие же, как и в первой строке.
По нашим предположениям эти коэффициенты bv, с принадлежат Cfl,e(i?) и
|^1/|о1*е(В)? |с|о1*е(В) ^ 7з
с некоторой постоянной 73, зависящей только от с, J и А. Поэтому (4.8)
можно явно записать в виде
п п
У] avpwXl/Xii + У] BvwXl/ + Cw = 0
г/, fi=l г/= 1
с непрерывными по Гельдеру коэффициентами, е-Гельдер-норму которых можно
оценить с помощью 73. Так как уравнение является равномерно эллиптическим
и квадратичная форма удовлетворяет
П
Y1 ^ ^1?|25 из оценки Шаудера (Shauder) (Гильбарг-Тру-
г/, ц=1
дингер [12], стр. 85) получим
\wx(x)\ ^ 74 maxw для х € \в.
х?В 2
Используя теорему (4.3), находим, что
\wx{x)\ ^ 7 • 74w{x) для X е
и это доказывает теорему.
360 Минимальные решения вариационных задач на торе
